Theorem smfdivdmmbl2 47257

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator. It is required only for the function at the denominator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfdivdmmbl2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
smfdivdmmbl2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
smfdivdmmbl2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl2.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.8	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
smfdivdmmbl2.10	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl2	⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl2.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
2	1	nfdm 5895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
3		smfdivdmmbl2.9	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
4		nfrab1 3407	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
5	3, 4	nfcxfr 2895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
6	2, 5	nfin 4155	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(dom 𝐹 ∩ 𝐷)
7		ovex 7389	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) ∈ V
8		smfdivdmmbl2.10	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
9	6, 7, 8	dmmptif 45683	. 2 ⊢ dom 𝐻 = (dom 𝐹 ∩ 𝐷)
10		smfdivdmmbl2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11		smfdivdmmbl2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
12	11	fdmd 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
13		smfdivdmmbl2.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	12, 13	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ 𝑆)
15		smfdivdmmbl2.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
16	10, 15	salrestss 46777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐺) ⊆ 𝑆)
17		smfdivdmmbl2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		smfdivdmmbl2.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
19		smfdivdmmbl2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom 𝐺
21	17, 18, 10, 19, 20	smfpimne2 47256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
22	3, 21	eqeltrid 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
23	16, 22	sseldd 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
24	10, 14, 23	salincld 46768	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ∈ 𝑆)
25	9, 24	eqeltrid 2839	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2882   ≠ wne 2930  {crab 3387   ∩ cin 3884   ↦ cmpt 5155  dom cdm 5620  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027   / cdiv 11796   ↾_t crest 17372  SAlgcsalg 46724  SMblFncsmblfn 47111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-ac2 10374  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-card 9852  df-acn 9855  df-ac 10027  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-fl 13740  df-rest 17374  df-salg 46725  df-smblfn 47112

This theorem is referenced by: (None)