Theorem smfdivdmmbl2 46944

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator. It is required only for the function at the denominator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfdivdmmbl2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
smfdivdmmbl2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
smfdivdmmbl2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl2.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.8	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
smfdivdmmbl2.10	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl2	⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl2.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
2	1	nfdm 5896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
3		smfdivdmmbl2.9	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
4		nfrab1 3415	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
5	3, 4	nfcxfr 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
6	2, 5	nfin 4173	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(dom 𝐹 ∩ 𝐷)
7		ovex 7385	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) ∈ V
8		smfdivdmmbl2.10	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
9	6, 7, 8	dmmptif 45368	. 2 ⊢ dom 𝐻 = (dom 𝐹 ∩ 𝐷)
10		smfdivdmmbl2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11		smfdivdmmbl2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
12	11	fdmd 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
13		smfdivdmmbl2.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	12, 13	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ 𝑆)
15		smfdivdmmbl2.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
16	10, 15	salrestss 46464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐺) ⊆ 𝑆)
17		smfdivdmmbl2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		smfdivdmmbl2.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
19		smfdivdmmbl2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom 𝐺
21	17, 18, 10, 19, 20	smfpimne2 46943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
22	3, 21	eqeltrid 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
23	16, 22	sseldd 3930	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
24	10, 14, 23	salincld 46455	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ∈ 𝑆)
25	9, 24	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879   ≠ wne 2928  {crab 3395   ∩ cin 3896   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  0cc0 11012   / cdiv 11780   ↾_t crest 17330  SAlgcsalg 46411  SMblFncsmblfn 46798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cc 10332  ax-ac2 10360  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-card 9838  df-acn 9841  df-ac 10013  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-ioo 13255  df-ico 13257  df-fl 13702  df-rest 17332  df-salg 46412  df-smblfn 46799

This theorem is referenced by: (None)