Theorem smfdivdmmbl2 47269

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator. It is required only for the function at the denominator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfdivdmmbl2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
smfdivdmmbl2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
smfdivdmmbl2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl2.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.8	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
smfdivdmmbl2.10	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl2	⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl2.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
2	1	nfdm 5907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
3		smfdivdmmbl2.9	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
4		nfrab1 3410	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
5	3, 4	nfcxfr 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
6	2, 5	nfin 4165	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(dom 𝐹 ∩ 𝐷)
7		ovex 7400	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) ∈ V
8		smfdivdmmbl2.10	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
9	6, 7, 8	dmmptif 45695	. 2 ⊢ dom 𝐻 = (dom 𝐹 ∩ 𝐷)
10		smfdivdmmbl2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11		smfdivdmmbl2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
12	11	fdmd 6679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
13		smfdivdmmbl2.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	12, 13	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ 𝑆)
15		smfdivdmmbl2.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
16	10, 15	salrestss 46789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐺) ⊆ 𝑆)
17		smfdivdmmbl2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		smfdivdmmbl2.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
19		smfdivdmmbl2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom 𝐺
21	17, 18, 10, 19, 20	smfpimne2 47268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
22	3, 21	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
23	16, 22	sseldd 3923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
24	10, 14, 23	salincld 46780	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ∈ 𝑆)
25	9, 24	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2933  {crab 3390   ∩ cin 3889   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038   / cdiv 11807   ↾_t crest 17383  SAlgcsalg 46736  SMblFncsmblfn 47123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-fl 13751  df-rest 17385  df-salg 46737  df-smblfn 47124

This theorem is referenced by: (None)