Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdivdmmbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdivdmmbl2 46856
Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator. It is required only for the function at the denominator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdivdmmbl2.1 𝑥𝜑
smfdivdmmbl2.2 𝑥𝐹
smfdivdmmbl2.3 𝑥𝐺
smfdivdmmbl2.4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl2.5 (𝜑𝐹:𝐴𝑉)
smfdivdmmbl2.6 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl2.7 (𝜑𝐴𝑆)
smfdivdmmbl2.8 (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
smfdivdmmbl2.9 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}
smfdivdmmbl2.10 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐷) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
smfdivdmmbl2 (𝜑 → dom 𝐻𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl2
StepHypRef Expression
1 smfdivdmmbl2.2 . . . . 5 𝑥𝐹
21nfdm 5962 . . . 4 𝑥dom 𝐹
3 smfdivdmmbl2.9 . . . . 5 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}
4 nfrab1 3457 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}
53, 4nfcxfr 2903 . . . 4 𝑥𝐷
62, 5nfin 4224 . . 3 𝑥(dom 𝐹𝐷)
7 ovex 7464 . . 3 ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) ∈ V
8 smfdivdmmbl2.10 . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐷) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
96, 7, 8dmmptif 45273 . 2 dom 𝐻 = (dom 𝐹𝐷)
10 smfdivdmmbl2.4 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
11 smfdivdmmbl2.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝑉)
1211fdmd 6746 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
13 smfdivdmmbl2.7 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
1412, 13eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹𝑆)
15 smfdivdmmbl2.8 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
1610, 15salrestss 46376 . . . 4 (𝜑 → (𝑆t dom 𝐺) ⊆ 𝑆)
17 smfdivdmmbl2.1 . . . . . 6 𝑥𝜑
18 smfdivdmmbl2.3 . . . . . 6 𝑥𝐺
19 smfdivdmmbl2.6 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20 eqid 2737 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom 𝐺
2117, 18, 10, 19, 20smfpimne2 46855 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0} ∈ (𝑆t dom 𝐺))
223, 21eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t dom 𝐺))
2316, 22sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝐷𝑆)
2410, 14, 23salincld 46367 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
259, 24eqeltrid 2845 1 (𝜑 → dom 𝐻𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  {crab 3436  cin 3950  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   / cdiv 11920  t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator