Theorem smfdivdmmbl2 47894

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator. It is required only for the function at the denominator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfdivdmmbl2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
smfdivdmmbl2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
smfdivdmmbl2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl2.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.8	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl2.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
smfdivdmmbl2.10	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl2	⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl2.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
2	1	nfdm 5932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
3		smfdivdmmbl2.9	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
4		nfrab1 3431	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}
5	3, 4	nfcxfr 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
6	2, 5	nfin 4121	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(dom 𝐹 ∩ 𝐷)
7		ovex 7453	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) ∈ V
8		smfdivdmmbl2.10	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
9	6, 7, 8	dmmptif 46321	. 2 ⊢ dom 𝐻 = (dom 𝐹 ∩ 𝐷)
10		smfdivdmmbl2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11		smfdivdmmbl2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
12	11	fdmd 6720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
13		smfdivdmmbl2.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	12, 13	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ 𝑆)
15		smfdivdmmbl2.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)
16	10, 15	salrestss 47414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐺) ⊆ 𝑆)
17		smfdivdmmbl2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		smfdivdmmbl2.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
19		smfdivdmmbl2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom 𝐺
21	17, 18, 10, 19, 20	smfpimne2 47893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
22	3, 21	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐺))
23	16, 22	sseldd 3909	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
24	10, 14, 23	salincld 47405	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐷) ∈ 𝑆)
25	9, 24	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  {crab 3412   ∩ cin 4089   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200   / cdiv 11973   ↾_t crest 17591  SAlgcsalg 47361  SMblFncsmblfn 47748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-fl 13932  df-rest 17593  df-salg 47362  df-smblfn 47749

This theorem is used by: (None)