Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdivdmmbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdivdmmbl2 46797
Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator. It is required only for the function at the denominator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdivdmmbl2.1 𝑥𝜑
smfdivdmmbl2.2 𝑥𝐹
smfdivdmmbl2.3 𝑥𝐺
smfdivdmmbl2.4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl2.5 (𝜑𝐹:𝐴𝑉)
smfdivdmmbl2.6 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl2.7 (𝜑𝐴𝑆)
smfdivdmmbl2.8 (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
smfdivdmmbl2.9 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}
smfdivdmmbl2.10 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐷) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
smfdivdmmbl2 (𝜑 → dom 𝐻𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl2
StepHypRef Expression
1 smfdivdmmbl2.2 . . . . 5 𝑥𝐹
21nfdm 5965 . . . 4 𝑥dom 𝐹
3 smfdivdmmbl2.9 . . . . 5 𝐷 = {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}
4 nfrab1 3454 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}
53, 4nfcxfr 2901 . . . 4 𝑥𝐷
62, 5nfin 4232 . . 3 𝑥(dom 𝐹𝐷)
7 ovex 7464 . . 3 ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) ∈ V
8 smfdivdmmbl2.10 . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐷) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
96, 7, 8dmmptif 45212 . 2 dom 𝐻 = (dom 𝐹𝐷)
10 smfdivdmmbl2.4 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
11 smfdivdmmbl2.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝑉)
1211fdmd 6747 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
13 smfdivdmmbl2.7 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
1412, 13eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹𝑆)
15 smfdivdmmbl2.8 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
1610, 15salrestss 46317 . . . 4 (𝜑 → (𝑆t dom 𝐺) ⊆ 𝑆)
17 smfdivdmmbl2.1 . . . . . 6 𝑥𝜑
18 smfdivdmmbl2.3 . . . . . 6 𝑥𝐺
19 smfdivdmmbl2.6 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20 eqid 2735 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom 𝐺
2117, 18, 10, 19, 20smfpimne2 46796 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐺 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0} ∈ (𝑆t dom 𝐺))
223, 21eqeltrid 2843 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t dom 𝐺))
2316, 22sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐷𝑆)
2410, 14, 23salincld 46308 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
259, 24eqeltrid 2843 1 (𝜑 → dom 𝐻𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wne 2938  {crab 3433  cin 3962  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   / cdiv 11918  t crest 17467  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator