Theorem dprddomprc 18607

Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprddomprc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dprddomprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3047	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7248	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 151	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 207	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 18604	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	brrelex2i 5298	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
7	4, 6	nsyl 137	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3046  Vcvv 3351   class class class wbr 4787  dom cdm 5250   DProd cdprd 18600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-dm 5260  df-rn 5261  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-dprd 18602

This theorem is referenced by:  dprddomcld  18608  dprdsubg  18631