Theorem dprddomprc 19912

Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprddomprc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dprddomprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3033	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7831	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 154	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 19909	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	brrelex2i 5673	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
7	4, 6	nsyl 140	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  Vcvv 3436   class class class wbr 5091  dom cdm 5616   DProd cdprd 19905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-dprd 19907

This theorem is referenced by:  dprddomcld  19913  dprdsubg  19936