Theorem dprddomprc 20020

Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprddomprc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dprddomprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3047	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7923	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 154	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 20017	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	brrelex2i 5742	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
7	4, 6	nsyl 140	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  dom cdm 5685   DProd cdprd 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-dprd 20015

This theorem is referenced by:  dprddomcld  20021  dprdsubg  20044