Theorem dprddomprc 19916

Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprddomprc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dprddomprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3034	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7837	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 154	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 19913	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	brrelex2i 5676	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
7	4, 6	nsyl 140	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3033  Vcvv 3437   class class class wbr 5093  dom cdm 5619   DProd cdprd 19909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-dprd 19911

This theorem is referenced by:  dprddomcld  19917  dprdsubg  19940