Theorem dprddomprc 19943

Description: A family of subgroups indexed by a proper class cannot be a family of subgroups for an internal direct product. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprddomprc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dprddomprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3038	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7853	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 154	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 19940	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	brrelex2i 5689	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
7	4, 6	nsyl 140	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  dom cdm 5632   DProd cdprd 19936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-dprd 19938

This theorem is referenced by:  dprddomcld  19944  dprdsubg  19967