MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdd 19910
Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprd.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
dmdprd.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
dmdprd.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
dmdprdd.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
dmdprdd.3 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
dmdprdd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
dmdprdd.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdd (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐺   π‘₯,𝐼,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)   𝑍(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd
StepHypRef Expression
1 dmdprdd.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 dmdprdd.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
3 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯))
4 necom 2994 . . . . . . . 8 (𝑦 β‰  π‘₯ ↔ π‘₯ β‰  𝑦)
54anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
63, 5bitri 274 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
7 dmdprdd.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
873exp2 1354 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦))))))
98imp4b 422 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦))))
106, 9biimtrid 241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦))))
1110ralrimiv 3145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
12 dmdprdd.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† { 0 })
132ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
14 dmdprd.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜πΊ)
1514subg0cl 19050 . . . . . . . 8 ((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
171adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
1918subgacs 19077 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
20 acsmre 17600 . . . . . . . . . 10 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
2117, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
22 imassrn 6070 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† ran 𝑆
232frnd 6725 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
2522, 24sstrid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
26 mresspw 17540 . . . . . . . . . . . 12 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
2825, 27sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
29 sspwuni 5103 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
3028, 29sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
31 dmdprd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
3231mrccl 17559 . . . . . . . . 9 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3321, 30, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3414subg0cl 19050 . . . . . . . 8 ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
3616, 35elind 4194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
3736snssd 4812 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ { 0 } βŠ† ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
3812, 37eqssd 3999 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = { 0 })
3911, 38jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦)) ∧ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = { 0 }))
4039ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦)) ∧ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = { 0 }))
41 dmdprdd.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
422fdmd 6728 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
43 dmdprd.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4443, 14, 31dmdprd 19909 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦)) ∧ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = { 0 }))))
4541, 42, 44syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘¦)) ∧ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = { 0 }))))
461, 2, 40, 45mpbir3and 1342 1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Moorecmre 17530  mrClscmrc 17531  ACScacs 17533  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036  Cntzccntz 19220   DProd cdprd 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-dprd 19906
This theorem is referenced by:  dprdss  19940  dprdz  19941  dprdf1o  19943  dprdsn  19947  dprd2da  19953  dmdprdsplit2  19957  ablfac1b  19981
  Copyright terms: Public domain W3C validator