Theorem dmdprdd 19970

Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprd.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dmdprdd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
dmdprdd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dmdprdd	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		dmdprdd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3		eldifsn 4730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
4		necom 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5	4	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	3, 5	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
7		dmdprdd.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
8	7	3exp2 1356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))))
9	8	imp4b 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
10	6, 9	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
11	10	ralrimiv 3129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
12		dmdprdd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
13	2	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		dmdprd.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15	14	subg0cl 19104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
17	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgacs 19130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20		acsmre 17612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
21	17, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22		imassrn 6031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
23	2	frnd 6671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
25	22, 24	sstrid 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26		mresspw 17548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
28	25, 27	sstrd 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
29		sspwuni 5043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
31		dmdprd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
32	31	mrccl 17571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	21, 30, 32	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
34	14	subg0cl 19104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
36	16, 35	elind 4141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
37	36	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
38	12, 37	eqssd 3940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
39	11, 38	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
40	39	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
41		dmdprdd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	2	fdmd 6673	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43		dmdprd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
44	43, 14, 31	dmdprd 19969	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
45	41, 42, 44	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
46	1, 2, 40, 45	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Moorecmre 17538  mrClscmrc 17539  ACScacs 17541  Grpcgrp 18903  SubGrpcsubg 19090  Cntzccntz 19284   DProd cdprd 19964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-dprd 19966

This theorem is referenced by:  dprdss  20000  dprdz  20001  dprdf1o  20003  dprdsn  20007  dprd2da  20013  dmdprdsplit2  20017  ablfac1b  20041