Theorem dmdprdd 19976

Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprd.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dmdprdd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
dmdprdd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dmdprdd	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		dmdprdd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3		eldifsn 4731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
4		necom 2985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5	4	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	3, 5	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
7		dmdprdd.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
8	7	3exp2 1356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))))
9	8	imp4b 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
10	6, 9	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
11	10	ralrimiv 3128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
12		dmdprdd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
13	2	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		dmdprd.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15	14	subg0cl 19110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
17	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgacs 19136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20		acsmre 17618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
21	17, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22		imassrn 6036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
23	2	frnd 6676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
25	22, 24	sstrid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26		mresspw 17554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
28	25, 27	sstrd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
29		sspwuni 5042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
31		dmdprd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
32	31	mrccl 17577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	21, 30, 32	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
34	14	subg0cl 19110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
36	16, 35	elind 4140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
37	36	snssd 4730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
38	12, 37	eqssd 3939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
39	11, 38	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
40	39	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
41		dmdprdd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	2	fdmd 6678	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43		dmdprd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
44	43, 14, 31	dmdprd 19975	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
45	41, 42, 44	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
46	1, 2, 40, 45	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Moorecmre 17544  mrClscmrc 17545  ACScacs 17547  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096  Cntzccntz 19290   DProd cdprd 19970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-dprd 19972

This theorem is referenced by:  dprdss  20006  dprdz  20007  dprdf1o  20009  dprdsn  20013  dprd2da  20019  dmdprdsplit2  20023  ablfac1b  20047