Theorem dmdprdd 19386

Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprd.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dmdprdd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
dmdprdd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dmdprdd	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		dmdprdd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3		eldifsn 4700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
4		necom 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5	4	anbi2i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	3, 5	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
7		dmdprdd.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
8	7	3exp2 1356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))))
9	8	imp4b 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
10	6, 9	syl5bi 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
11	10	ralrimiv 3104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
12		dmdprdd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
13	2	ffvelrnda 6904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		dmdprd.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15	14	subg0cl 18551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
17	1	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgacs 18577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20		acsmre 17155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
21	17, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22		imassrn 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
23	2	frnd 6553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
24	23	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
25	22, 24	sstrid 3912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26		mresspw 17095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
28	25, 27	sstrd 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
29		sspwuni 5008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
30	28, 29	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
31		dmdprd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
32	31	mrccl 17114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	21, 30, 32	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
34	14	subg0cl 18551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
36	16, 35	elind 4108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
37	36	snssd 4722	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
38	12, 37	eqssd 3918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
39	11, 38	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
40	39	ralrimiva 3105	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
41		dmdprdd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	2	fdmd 6556	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43		dmdprd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
44	43, 14, 31	dmdprd 19385	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
45	41, 42, 44	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
46	1, 2, 40, 45	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3863   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513  {csn 4541  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ran crn 5552   “ cima 5554  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  Moorecmre 17085  mrClscmrc 17086  ACScacs 17088  Grpcgrp 18365  SubGrpcsubg 18537  Cntzccntz 18709   DProd cdprd 19380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-dprd 19382

This theorem is referenced by:  dprdss  19416  dprdz  19417  dprdf1o  19419  dprdsn  19423  dprd2da  19429  dmdprdsplit2  19433  ablfac1b  19457