MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdd 19041
Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0 0 = (0g𝐺)
dmdprd.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2 (𝜑𝐼𝑉)
dmdprdd.3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
dmdprdd.5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdd (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd
StepHypRef Expression
1 dmdprdd.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 dmdprdd.3 . 2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3 eldifsn 4718 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐼𝑦𝑥))
4 necom 3074 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
54anbi2i 622 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑦𝑥) ↔ (𝑦𝐼𝑥𝑦))
63, 5bitri 276 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐼𝑥𝑦))
7 dmdprdd.4 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
873exp2 1348 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
98imp4b 422 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼𝑥𝑦) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))
106, 9syl5bi 243 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))
1110ralrimiv 3186 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
12 dmdprdd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
132ffvelrnda 6847 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 dmdprd.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
1514subg0cl 18217 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑥))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑥))
171adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1918subgacs 18243 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20 acsmre 16913 . . . . . . . . . 10 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
2117, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22 imassrn 5938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
232frnd 6518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2522, 24sstrid 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26 mresspw 16853 . . . . . . . . . . . 12 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
2825, 27sstrd 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
29 sspwuni 5019 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
3028, 29sylib 219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
31 dmdprd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
3231mrccl 16872 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3321, 30, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3414subg0cl 18217 . . . . . . . 8 ((𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
3616, 35elind 4175 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
3736snssd 4741 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
3812, 37eqssd 3988 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
3911, 38jca 512 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
4039ralrimiva 3187 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
41 dmdprdd.2 . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
422fdmd 6520 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43 dmdprd.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4443, 14, 31dmdprd 19040 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
4541, 42, 44syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
461, 2, 40, 45mpbir3and 1336 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  cdif 3937  cin 3939  wss 3940  𝒫 cpw 4542  {csn 4564   cuni 4837   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  ran crn 5555  cima 5557  wf 6348  cfv 6352  Basecbs 16473  0gc0g 16703  Moorecmre 16843  mrClscmrc 16844  ACScacs 16846  Grpcgrp 18033  SubGrpcsubg 18203  Cntzccntz 18375   DProd cdprd 19035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-subg 18206  df-dprd 19037
This theorem is referenced by:  dprdss  19071  dprdz  19072  dprdf1o  19074  dprdsn  19078  dprd2da  19084  dmdprdsplit2  19088  ablfac1b  19112
  Copyright terms: Public domain W3C validator