Theorem dmdprdd 19967

Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprd.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dmdprdd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
dmdprdd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dmdprdd	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		dmdprdd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3		eldifsn 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
4		necom 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5	4	anbi2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	3, 5	bitri 276	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
7		dmdprdd.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
8	7	3exp2 1361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))))
9	8	imp4b 422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
10	6, 9	biimtrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
11	10	ralrimiv 3130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
12		dmdprdd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
13	2	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		dmdprd.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15	14	subg0cl 19101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
17	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgacs 19127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20		acsmre 17609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
21	17, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22		imassrn 6023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
23	2	frnd 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
25	22, 24	sstrid 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26		mresspw 17545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
28	25, 27	sstrd 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
29		sspwuni 5029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
30	28, 29	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
31		dmdprd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
32	31	mrccl 17568	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	21, 30, 32	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
34	14	subg0cl 19101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
36	16, 35	elind 4129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
37	36	snssd 4718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
38	12, 37	eqssd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
39	11, 38	jca 516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
40	39	ralrimiva 3131	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
41		dmdprdd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	2	fdmd 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43		dmdprd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
44	43, 14, 31	dmdprd 19966	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
45	41, 42, 44	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
46	1, 2, 40, 45	mpbir3and 1349	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ran crn 5619   “ cima 5621  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Moorecmre 17535  mrClscmrc 17536  ACScacs 17538  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  Cntzccntz 19281   DProd cdprd 19961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-dprd 19963

This theorem is referenced by:  dprdss  19997  dprdz  19998  dprdf1o  20000  dprdsn  20004  dprd2da  20010  dmdprdsplit2  20014  ablfac1b  20038