MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmdprd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reldmdprd 19869
Description: The domain of the internal direct product operation is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
reldmdprd Rel dom DProd

Proof of Theorem reldmdprd
Dummy variables ๐‘” โ„Ž ๐‘“ ๐‘  ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dprd 19867 . 2 DProd = (๐‘” โˆˆ Grp, ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โ†ฆ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
21reldmmpo 7545 1 Rel dom DProd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541  {cab 2709  โˆ€wral 3061  {crab 3432   โˆ– cdif 3945   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   โ€œ cima 5679  Rel wrel 5681  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Xcixp 8893   finSupp cfsupp 9363  0gc0g 17387   ฮฃg cgsu 17388  mrClscmrc 17529  Grpcgrp 18821  SubGrpcsubg 19002  Cntzccntz 19181   DProd cdprd 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-dm 5686  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-dprd 19867
This theorem is referenced by:  dprddomprc  19872  dprdval0prc  19874  dprdval  19875  dprdgrp  19877  dprdf  19878  dprdssv  19888  subgdmdprd  19906  dprd2da  19914  dpjfval  19927
  Copyright terms: Public domain W3C validator