MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmdprd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reldmdprd 19867
Description: The domain of the internal direct product operation is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
reldmdprd Rel dom DProd

Proof of Theorem reldmdprd
Dummy variables ๐‘” โ„Ž ๐‘“ ๐‘  ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dprd 19865 . 2 DProd = (๐‘” โˆˆ Grp, ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โ†ฆ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
21reldmmpo 7543 1 Rel dom DProd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542  {cab 2710  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โˆ– cdif 3946   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โˆช cuni 4909   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   โ€œ cima 5680  Rel wrel 5682  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Xcixp 8891   finSupp cfsupp 9361  0gc0g 17385   ฮฃg cgsu 17386  mrClscmrc 17527  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179   DProd cdprd 19863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-dm 5687  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-dprd 19865
This theorem is referenced by:  dprddomprc  19870  dprdval0prc  19872  dprdval  19873  dprdgrp  19875  dprdf  19876  dprdssv  19886  subgdmdprd  19904  dprd2da  19912  dpjfval  19925
  Copyright terms: Public domain W3C validator