Theorem brrelex2i 5635

Description: The second argument of a binary relation exists. (An artifact of our ordered pair definition.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brrelexi.1	⊢ Rel 𝑅

Assertion

Ref	Expression
brrelex2i	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem brrelex2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brrelexi.1	. 2 ⊢ Rel 𝑅
2		brrelex2 5632	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	mpan 686	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  Rel wrel 5585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587

This theorem is referenced by:  vtoclr  5641  brfvopabrbr  6854  brdomi  8704  domdifsn  8795  undom  8800  xpdom2  8807  xpdom1g  8809  domunsncan  8812  enfixsn  8821  sucdom2  8822  fodomr  8864  pwdom  8865  domssex  8874  xpen  8876  mapdom1  8878  mapdom2  8884  pwen  8886  unxpdom  8959  unxpdom2  8960  sucxpdom  8961  isfinite2  9002  infn0  9006  fin2inf  9007  suppeqfsuppbi  9072  fsuppsssupp  9074  fsuppunbi  9079  funsnfsupp  9082  mapfien2  9098  wemapso2  9242  card2on  9243  elharval  9250  harword  9252  brwdomi  9257  brwdomn0  9258  domwdom  9263  wdomtr  9264  wdompwdom  9267  canthwdom  9268  brwdom3i  9272  unwdomg  9273  xpwdomg  9274  unxpwdom  9278  infdifsn  9345  infdiffi  9346  isnum2  9634  wdomfil  9748  djuen  9856  djuenun  9857  djudom2  9870  djuxpdom  9872  djuinf  9875  infdju1  9876  pwdjuidm  9878  djulepw  9879  infdjuabs  9893  infdif  9896  pwdjudom  9903  infpss  9904  infmap2  9905  fictb  9932  infpssALT  10000  enfin2i  10008  fin34  10077  fodomb  10213  wdomac  10214  iundom2g  10227  iundom  10229  sdomsdomcard  10247  infxpidm  10249  engch  10315  fpwwe2lem3  10320  canthp1lem1  10339  canthp1lem2  10340  canthp1  10341  pwfseq  10351  pwxpndom2  10352  pwxpndom  10353  pwdjundom  10354  hargch  10360  gchaclem  10365  hasheni  13990  hashdomi  14023  clim  15131  rlim  15132  ntrivcvgn0  15538  ssc1  17450  ssc2  17451  ssctr  17454  frgpnabl  19391  dprddomprc  19518  dprdval  19521  dprdgrp  19523  dprdf  19524  dprdssv  19534  subgdmdprd  19552  dprd2da  19560  1stcrestlem  22511  hauspwdom  22560  isref  22568  ufilen  22989  dvle  25076  locfinref  31693  isfne4  34456  fnetr  34467  topfneec  34471  fnessref  34473  refssfne  34474  bj-epelb  35167  bj-idreseq  35260  phpreu  35688  climf  43053  climf2  43097