Theorem brrelex2i 5671

Description: The second argument of a binary relation exists. (An artifact of our ordered pair definition.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brrelexi.1	⊢ Rel 𝑅

Assertion

Ref	Expression
brrelex2i	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem brrelex2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brrelexi.1	. 2 ⊢ Rel 𝑅
2		brrelex2 5668	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5089  Rel wrel 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621

This theorem is referenced by:  vtoclr  5677  brfvopabrbr  6926  domdifsn  8973  undom  8978  xpdom2  8985  xpdom1g  8987  domunsncan  8990  enfixsn  8999  fodomr  9041  pwdom  9042  domssex  9051  xpen  9053  mapdom1  9055  mapdom2  9061  pwen  9063  domtrfil  9101  sucdom2  9112  0sdom1dom  9130  1sdom2dom  9138  unxpdom  9143  unxpdom2  9144  sucxpdom  9145  isfinite2  9182  infn0ALT  9187  fin2inf  9188  fodomfir  9212  suppeqfsuppbi  9263  fsuppsssupp  9265  fsuppssov1  9268  fsuppunbi  9273  funsnfsupp  9276  mapfien2  9293  wemapso2  9439  card2on  9440  elharval  9447  harword  9449  brwdomi  9454  brwdomn0  9455  domwdom  9460  wdomtr  9461  wdompwdom  9464  canthwdom  9465  brwdom3i  9469  unwdomg  9470  xpwdomg  9471  unxpwdom  9475  infdifsn  9547  infdiffi  9548  isnum2  9838  wdomfil  9952  djuen  10061  djuenun  10062  djudom2  10075  djuxpdom  10077  djuinf  10080  infdju1  10081  pwdjuidm  10083  djulepw  10084  infdjuabs  10096  infdif  10099  pwdjudom  10106  infpss  10107  infmap2  10108  fictb  10135  infpssALT  10204  enfin2i  10212  fin34  10281  fodomb  10417  wdomac  10418  iundom2g  10431  iundom  10433  sdomsdomcard  10451  infxpidm  10453  engch  10519  fpwwe2lem3  10524  canthp1lem1  10543  canthp1lem2  10544  canthp1  10545  pwfseq  10555  pwxpndom2  10556  pwxpndom  10557  pwdjundom  10558  hargch  10564  gchaclem  10569  hasheni  14255  hashdomi  14287  clim  15401  rlim  15402  ntrivcvgn0  15805  ssc1  17728  ssc2  17729  ssctr  17732  frgpnabl  19787  dprddomprc  19914  dprdval  19917  dprdgrp  19919  dprdf  19920  dprdssv  19930  subgdmdprd  19948  dprd2da  19956  1stcrestlem  23367  hauspwdom  23416  isref  23424  ufilen  23845  dvle  25939  ellpi  33338  finextfldext  33677  locfinref  33854  isfne4  36384  fnetr  36395  topfneec  36399  fnessref  36401  refssfne  36402  bj-epelb  37113  bj-idreseq  37206  phpreu  37654  sdomne0  43516  sdomne0d  43517  rn1st  45380  climf  45732  climf2  45774  iinfssc  49168  fuco21  49447  fucoid  49459