Theorem brrelex2i 5716

Description: The second argument of a binary relation exists. (An artifact of our ordered pair definition.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brrelexi.1	⊢ Rel 𝑅

Assertion

Ref	Expression
brrelex2i	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem brrelex2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brrelexi.1	. 2 ⊢ Rel 𝑅
2		brrelex2 5713	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  Rel wrel 5664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666

This theorem is used by:  vtoclr  5722  brfvopabrbr  6987  domdifsn  9062  undom  9067  xpdom2  9074  xpdom1g  9076  domunsncan  9079  enfixsn  9088  fodomr  9130  pwdom  9131  domssex  9140  xpen  9142  mapdom1  9144  mapdom2  9150  pwen  9152  domtrfil  9190  sucdom2  9201  0sdom1dom  9220  1sdom2dom  9228  unxpdom  9233  unxpdom2  9234  sucxpdom  9235  isfinite2  9272  infn0ALT  9277  fin2inf  9278  fodomfir  9301  suppeqfsuppbi  9353  fsuppsssupp  9355  fsuppssov1  9358  fsuppunbi  9363  funsnfsupp  9366  mapfien2  9383  wemapso2  9529  card2on  9530  elharval  9537  harword  9539  brwdomi  9544  brwdomn0  9545  domwdom  9550  wdomtr  9551  wdompwdom  9554  canthwdom  9555  brwdom3i  9559  unwdomg  9560  xpwdomg  9561  unxpwdom  9565  infdifsn  9640  infdiffi  9641  isnum2  9954  wdomfil  10068  djuen  10176  djuenun  10177  djudom2  10190  djuxpdom  10192  djuinf  10195  infdju1  10196  pwdjuidm  10198  djulepw  10199  infdjuabs  10211  infdif  10214  pwdjudom  10221  infpss  10222  infmap2  10223  fictb  10250  infpssALT  10319  enfin2i  10327  fin34  10396  fodomb  10533  wdomac  10534  iundom2g  10552  iundom  10554  sdomsdomcard  10572  infxpidm  10574  engch  10641  fpwwe2lem3  10646  canthp1lem1  10665  canthp1lem2  10666  canthp1  10667  pwfseq  10677  pwxpndom2  10678  pwxpndom  10679  pwdjundom  10680  hargch  10686  gchaclem  10691  hasheni  14416  hashdomi  14448  clim  15585  rlim  15586  ntrivcvgn0  15991  ssc1  17916  ssc2  17917  ssctr  17920  frgpnabl  20008  dprddomprc  20135  dprdval  20138  dprdgrp  20140  dprdf  20141  dprdssv  20151  subgdmdprd  20169  dprd2da  20177  1stcrestlem  23683  hauspwdom  23733  isref  23741  ufilen  24162  dvle  26241  ellpi  33815  finextfldext  34182  locfinref  34359  karddom  35695  kardsdom  35696  isfne4  36967  fnetr  36978  topfneec  36982  fnessref  36984  refssfne  36985  bj-epelb  37821  bj-idreseq  37922  phpreu  38366  sdomne0  44261  sdomne0d  44262  rn1st  46110  climf  46460  climf2  46502  iinfssc  49991  fuco21  50270  fucoid  50282