Theorem dprdsubg 20246

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdsubg	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	dprdssv 20238	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
6		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺dom DProd 𝑆)
7		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8		fvex 6899	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
9		fnconstg 6771	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
10	8, 9	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
11	8	fvconst2 7211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
13		dprdf 20228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
14	13	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	4	subg0cl 19350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
17	12, 16	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
18	17	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19		df-nel 3062	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20		dprddomprc 20222	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
21	19, 20	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
22	21	con4i 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
23	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ V)
24	22, 23	fczfsuppd 9382	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))
25	5, 6, 7	dprdw 20232	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))))
26	10, 18, 24, 25	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
27	4, 5, 6, 7, 26	eldprdi 20240	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
28	27	ne0d 4287	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
29		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
30	4, 5	eldprd 20226	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
31	30	baibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
32	4, 5	eldprd 20226	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
33	32	baibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
34	31, 33	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
35	29, 34	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
36		reeanv 3234	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
37		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
38		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
39		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
40		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
41		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
42	4, 5, 37, 38, 39, 40, 41	dprdfsub 20243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
43	42	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
44	42	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
45	4, 5, 37, 38, 44	eldprdi 20240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	43, 45	eqeltrrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
47		oveq12 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
48	47	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
49	46, 48	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
50	49	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
51	36, 50	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
52	35, 51	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
53	52	ralrimivv 3203	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
54		dprdgrp 20227	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
55	1, 41	issubg4 19362	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
56	54, 55	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
57	3, 28, 53, 56	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5648  dom cdm 5650   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692  Xcixp 8929   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17393  0_gc0g 17616   Σ_g cgsu 17617  Grpcgrp 19150  -_gcsg 19152  SubGrpcsubg 19336   DProd cdprd 20215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-gim 19479  df-cntz 19537  df-oppg 19566  df-cmn 20002  df-dprd 20217

This theorem is used by:  dprdspan  20249  dprdz  20252  dprdcntz2  20260  dprddisj2  20261  dprd2da  20264  dmdprdsplit2lem  20267  dmdprdsplit2  20268  dprdsplit  20270  dpjf  20279  dpjidcl  20280  dpjlid  20283  dpjghm  20285  ablfac1c  20293  ablfac1eulem  20294  ablfac1eu  20295  pgpfaclem1  20303