Theorem dprdsubg 20007

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdsubg	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	dprdssv 19999	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺dom DProd 𝑆)
7		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8		fvex 6889	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
9		fnconstg 6766	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
10	8, 9	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
11	8	fvconst2 7196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
13		dprdf 19989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
14	13	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	4	subg0cl 19117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
17	12, 16	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
18	17	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19		df-nel 3037	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20		dprddomprc 19983	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
21	19, 20	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
22	21	con4i 114	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
23	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ V)
24	22, 23	fczfsuppd 9398	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))
25	5, 6, 7	dprdw 19993	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))))
26	10, 18, 24, 25	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
27	4, 5, 6, 7, 26	eldprdi 20001	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
28	27	ne0d 4317	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
29		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
30	4, 5	eldprd 19987	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
31	30	baibd 539	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
32	4, 5	eldprd 19987	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
33	32	baibd 539	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
34	31, 33	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
35	29, 34	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
36		reeanv 3213	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
37		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
38		eqidd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
39		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
40		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
41		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
42	4, 5, 37, 38, 39, 40, 41	dprdfsub 20004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
43	42	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
44	42	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
45	4, 5, 37, 38, 44	eldprdi 20001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	43, 45	eqeltrrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
47		oveq12 7414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
48	47	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
49	46, 48	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
50	49	rexlimdvva 3198	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
51	36, 50	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
52	35, 51	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
53	52	ralrimivv 3185	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
54		dprdgrp 19988	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
55	1, 41	issubg4 19128	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
56	54, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
57	3, 28, 53, 56	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119   × cxp 5652  dom cdm 5654   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669  Xcixp 8911   finSupp cfsupp 9373  Basecbs 17228  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  Grpcgrp 18916  -_gcsg 18918  SubGrpcsubg 19103   DProd cdprd 19976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-gim 19242  df-cntz 19300  df-oppg 19329  df-cmn 19763  df-dprd 19978

This theorem is referenced by:  dprdspan  20010  dprdz  20013  dprdcntz2  20021  dprddisj2  20022  dprd2da  20025  dmdprdsplit2lem  20028  dmdprdsplit2  20029  dprdsplit  20031  dpjf  20040  dpjidcl  20041  dpjlid  20044  dpjghm  20046  ablfac1c  20054  ablfac1eulem  20055  ablfac1eu  20056  pgpfaclem1  20064