MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdsubg 19894
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21dprdssv 19886 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
32a1i 11 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4 eqid 2733 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 eqid 2733 . . . 4 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
6 id 22 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑆)
7 eqidd 2734 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8 fvex 6905 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
9 fnconstg 6780 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
108, 9mp1i 13 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
118fvconst2 7205 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
1211adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
13 dprdf 19876 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
1413ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
154subg0cl 19014 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1712, 16eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
1817ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
19 df-nel 3048 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20 dprddomprc 19870 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2119, 20sylbir 234 . . . . . . 7 (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2221con4i 114 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
238a1i 11 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g𝐺) ∈ V)
2422, 23fczfsuppd 9381 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))
255, 6, 7dprdw 19880 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))))
2610, 18, 24, 25mpbir3and 1343 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
274, 5, 6, 7, 26eldprdi 19888 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2827ne0d 4336 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
29 eqid 2733 . . . . 5 dom 𝑆 = dom 𝑆
304, 5eldprd 19874 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
3130baibd 541 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
324, 5eldprd 19874 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3332baibd 541 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
3431, 33anbi12d 632 . . . . 5 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3529, 34mpan 689 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
36 reeanv 3227 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
37 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
38 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
39 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
40 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
41 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (-g𝐺) = (-g𝐺)
424, 5, 37, 38, 39, 40, 41dprdfsub 19891 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑓f (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
4342simprd 497 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4442simpld 496 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝑓f (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
454, 5, 37, 38, 44eldprdi 19888 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4643, 45eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
47 oveq12 7418 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4847eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
4946, 48syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5049rexlimdvva 3212 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5136, 50biimtrrid 242 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5235, 51sylbid 239 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5352ralrimivv 3199 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
54 dprdgrp 19875 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
551, 41issubg4 19025 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
5654, 55syl 17 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
573, 28, 53, 56mpbir3and 1343 1 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wnel 3047  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  cfv 6544  (class class class)co 7409  f cof 7668  Xcixp 8891   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  0gc0g 17385   Σg cgsu 17386  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000   DProd cdprd 19863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-cmn 19650  df-dprd 19865
This theorem is referenced by:  dprdspan  19897  dprdz  19900  dprdcntz2  19908  dprddisj2  19909  dprd2da  19912  dmdprdsplit2lem  19915  dmdprdsplit2  19916  dprdsplit  19918  dpjf  19927  dpjidcl  19928  dpjlid  19931  dpjghm  19933  ablfac1c  19941  ablfac1eulem  19942  ablfac1eu  19943  pgpfaclem1  19951
  Copyright terms: Public domain W3C validator