Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdsubg 19137
 Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21dprdssv 19129 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
32a1i 11 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4 eqid 2822 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 eqid 2822 . . . 4 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
6 id 22 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑆)
7 eqidd 2823 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8 fvex 6665 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
9 fnconstg 6548 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
108, 9mp1i 13 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
118fvconst2 6948 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
1211adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
13 dprdf 19119 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
1413ffvelrnda 6833 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
154subg0cl 18278 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1712, 16eqeltrd 2914 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
1817ralrimiva 3174 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
19 df-nel 3116 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20 dprddomprc 19113 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2119, 20sylbir 238 . . . . . . 7 (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2221con4i 114 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
238a1i 11 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g𝐺) ∈ V)
2422, 23fczfsuppd 8839 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))
255, 6, 7dprdw 19123 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))))
2610, 18, 24, 25mpbir3and 1339 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
274, 5, 6, 7, 26eldprdi 19131 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2827ne0d 4273 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
29 eqid 2822 . . . . 5 dom 𝑆 = dom 𝑆
304, 5eldprd 19117 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
3130baibd 543 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
324, 5eldprd 19117 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3332baibd 543 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
3431, 33anbi12d 633 . . . . 5 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3529, 34mpan 689 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
36 reeanv 3348 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
37 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
38 eqidd 2823 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
39 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
40 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
41 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (-g𝐺) = (-g𝐺)
424, 5, 37, 38, 39, 40, 41dprdfsub 19134 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑓f (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
4342simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4442simpld 498 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝑓f (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
454, 5, 37, 38, 44eldprdi 19131 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4643, 45eqeltrrd 2915 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
47 oveq12 7149 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4847eleq1d 2898 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
4946, 48syl5ibrcom 250 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5049rexlimdvva 3280 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5136, 50syl5bir 246 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5235, 51sylbid 243 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5352ralrimivv 3180 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
54 dprdgrp 19118 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
551, 41issubg4 18289 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
5654, 55syl 17 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
573, 28, 53, 56mpbir3and 1339 1 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   ∉ wnel 3115  ∀wral 3130  ∃wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  {csn 4539   class class class wbr 5042   × cxp 5530  dom cdm 5532   Fn wfn 6329  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∘f cof 7392  Xcixp 8448   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16474  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  Grpcgrp 18094  -gcsg 18096  SubGrpcsubg 18264   DProd cdprd 19106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-cmn 18899  df-dprd 19108 This theorem is referenced by:  dprdspan  19140  dprdz  19143  dprdcntz2  19151  dprddisj2  19152  dprd2da  19155  dmdprdsplit2lem  19158  dmdprdsplit2  19159  dprdsplit  19161  dpjf  19170  dpjidcl  19171  dpjlid  19174  dpjghm  19176  ablfac1c  19184  ablfac1eulem  19185  ablfac1eu  19186  pgpfaclem1  19194
 Copyright terms: Public domain W3C validator