Theorem dprdsubg 20220

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdsubg	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	dprdssv 20212	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
6		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺dom DProd 𝑆)
7		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8		fvex 6890	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
9		fnconstg 6762	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
10	8, 9	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
11	8	fvconst2 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
13		dprdf 20202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
14	13	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	4	subg0cl 19324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
17	12, 16	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
18	17	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19		df-nel 3063	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20		dprddomprc 20196	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
21	19, 20	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
22	21	con4i 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
23	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ V)
24	22, 23	fczfsuppd 9362	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))
25	5, 6, 7	dprdw 20206	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))))
26	10, 18, 24, 25	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
27	4, 5, 6, 7, 26	eldprdi 20214	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
28	27	ne0d 4288	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
29		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
30	4, 5	eldprd 20200	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
31	30	baibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
32	4, 5	eldprd 20200	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
33	32	baibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
34	31, 33	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
35	29, 34	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
36		reeanv 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
37		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
38		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
39		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
40		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
41		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
42	4, 5, 37, 38, 39, 40, 41	dprdfsub 20217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
43	42	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
44	42	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
45	4, 5, 37, 38, 44	eldprdi 20214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	43, 45	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
47		oveq12 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
48	47	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
49	46, 48	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
50	49	rexlimdvva 3220	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
51	36, 50	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
52	35, 51	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
53	52	ralrimivv 3204	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
54		dprdgrp 20201	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
55	1, 41	issubg4 19336	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
56	54, 55	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
57	3, 28, 53, 56	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  dom cdm 5651   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  Xcixp 8909   finSupp cfsupp 9337  Basecbs 17367  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591  Grpcgrp 19124  -_gcsg 19126  SubGrpcsubg 19310   DProd cdprd 20189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-cmn 19976  df-dprd 20191

This theorem is used by:  dprdspan  20223  dprdz  20226  dprdcntz2  20234  dprddisj2  20235  dprd2da  20238  dmdprdsplit2lem  20241  dmdprdsplit2  20242  dprdsplit  20244  dpjf  20253  dpjidcl  20254  dpjlid  20257  dpjghm  20259  ablfac1c  20267  ablfac1eulem  20268  ablfac1eu  20269  pgpfaclem1  20277