Theorem dprdsubg 20159

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdsubg	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	dprdssv 20151	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
6		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺dom DProd 𝑆)
7		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
9		fnconstg 6767	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
10	8, 9	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆)
11	8	fvconst2 7207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) = (0g‘𝐺))
13		dprdf 20141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
14	13	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	4	subg0cl 19263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑆‘𝑘))
17	12, 16	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
18	17	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19		df-nel 3064	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20		dprddomprc 20135	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
21	19, 20	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
22	21	con4i 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
23	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ V)
24	22, 23	fczfsuppd 9360	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))
25	5, 6, 7	dprdw 20145	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) finSupp (0g‘𝐺))))
26	10, 18, 24, 25	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)}) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
27	4, 5, 6, 7, 26	eldprdi 20153	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g‘𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
28	27	ne0d 4291	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
29		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
30	4, 5	eldprd 20139	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
31	30	baibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
32	4, 5	eldprd 20139	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
33	32	baibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
34	31, 33	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑆 = dom 𝑆 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
35	29, 34	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
36		reeanv 3236	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
37		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
38		eqidd 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
39		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
40		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
41		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
42	4, 5, 37, 38, 39, 40, 41	dprdfsub 20156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
43	42	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
44	42	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
45	4, 5, 37, 38, 44	eldprdi 20153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓 ∘f (-g‘𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	43, 45	eqeltrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
47		oveq12 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
48	47	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
49	46, 48	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
50	49	rexlimdvva 3221	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
51	36, 50	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
52	35, 51	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
53	52	ralrimivv 3205	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
54		dprdgrp 20140	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
55	1, 41	issubg4 19275	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
56	54, 55	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
57	3, 28, 53, 56	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∉ wnel 3063  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  dom cdm 5659   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680  Xcixp 8908   finSupp cfsupp 9335  Basecbs 17307  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  Grpcgrp 19063  -_gcsg 19065  SubGrpcsubg 19249   DProd cdprd 20128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-cntz 19450  df-oppg 19479  df-cmn 19915  df-dprd 20130

This theorem is used by:  dprdspan  20162  dprdz  20165  dprdcntz2  20173  dprddisj2  20174  dprd2da  20177  dmdprdsplit2lem  20180  dmdprdsplit2  20181  dprdsplit  20183  dpjf  20192  dpjidcl  20193  dpjlid  20196  dpjghm  20198  ablfac1c  20206  ablfac1eulem  20207  ablfac1eu  20208  pgpfaclem1  20216