MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdsubg 19935
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21dprdssv 19927 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
32a1i 11 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4 eqid 2730 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 eqid 2730 . . . 4 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
6 id 22 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑆)
7 eqidd 2731 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8 fvex 6903 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
9 fnconstg 6778 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
108, 9mp1i 13 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
118fvconst2 7206 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
1211adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
13 dprdf 19917 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
1413ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
154subg0cl 19050 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1712, 16eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
1817ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
19 df-nel 3045 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20 dprddomprc 19911 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2119, 20sylbir 234 . . . . . . 7 (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2221con4i 114 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
238a1i 11 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g𝐺) ∈ V)
2422, 23fczfsuppd 9383 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))
255, 6, 7dprdw 19921 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))))
2610, 18, 24, 25mpbir3and 1340 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
274, 5, 6, 7, 26eldprdi 19929 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2827ne0d 4334 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
29 eqid 2730 . . . . 5 dom 𝑆 = dom 𝑆
304, 5eldprd 19915 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
3130baibd 538 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
324, 5eldprd 19915 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3332baibd 538 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
3431, 33anbi12d 629 . . . . 5 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3529, 34mpan 686 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
36 reeanv 3224 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
37 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
38 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
39 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
40 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
41 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (-g𝐺) = (-g𝐺)
424, 5, 37, 38, 39, 40, 41dprdfsub 19932 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑓f (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
4342simprd 494 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4442simpld 493 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝑓f (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
454, 5, 37, 38, 44eldprdi 19929 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓f (-g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4643, 45eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
47 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4847eleq1d 2816 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
4946, 48syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5049rexlimdvva 3209 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5136, 50biimtrrid 242 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5235, 51sylbid 239 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5352ralrimivv 3196 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
54 dprdgrp 19916 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
551, 41issubg4 19061 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
5654, 55syl 17 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
573, 28, 53, 56mpbir3and 1340 1 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  wss 3947  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   × cxp 5673  dom cdm 5675   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7411  f cof 7670  Xcixp 8893   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  0gc0g 17389   Σg cgsu 17390  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  SubGrpcsubg 19036   DProd cdprd 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-cmn 19691  df-dprd 19906
This theorem is referenced by:  dprdspan  19938  dprdz  19941  dprdcntz2  19949  dprddisj2  19950  dprd2da  19953  dmdprdsplit2lem  19956  dmdprdsplit2  19957  dprdsplit  19959  dpjf  19968  dpjidcl  19969  dpjlid  19972  dpjghm  19974  ablfac1c  19982  ablfac1eulem  19983  ablfac1eu  19984  pgpfaclem1  19992
  Copyright terms: Public domain W3C validator