Theorem dmexg 7923

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexg 7758	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ ∪ 𝐴 ∈ V)
3		ssun1 4187	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4		dmrnssfld 5986	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
5	3, 4	sstri 4004	. . 3 ⊢ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6		ssexg 5328	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴 ∧ ∪ ∪ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	mpan 690	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ V → dom 𝐴 ∈ V)
8	1, 2, 7	3syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911  dom cdm 5688  ran crn 5689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-cnv 5696  df-dm 5698  df-rn 5699

This theorem is referenced by:  dmexd  7925  dmfex  7927  dmex  7931  iprc  7933  exse2  7939  xpexr2  7941  xpexcnv  7942  soex  7943  cnvexg  7946  coexg  7951  cofunexg  7971  offval3  8005  opabn1stprc  8081  suppval  8185  funsssuppss  8213  suppssov1  8220  suppssov2  8221  suppssfv  8225  tposexg  8263  tfrlem12  8427  tfrlem13  8428  erexb  8768  f1vrnfibi  9379  oion  9573  ttrclexg  9760  fpwwe2lem3  10670  hashfn  14410  hashfundm  14477  hashf1dmrn  14478  fundmge2nop0  14537  fun2dmnop0  14539  trclexlem  15029  relexp0g  15057  relexpsucnnr  15060  o1of2  15645  isofn  17822  ssclem  17866  ssc2  17869  ssctr  17872  subsubc  17903  resf1st  17944  resf2nd  17945  funcres  17946  dprddomprc  20034  dprdval0prc  20036  subgdmdprd  20068  dprd2da  20076  decpmatval0  22785  pmatcollpw3lem  22804  ordtbaslem  23211  ordtuni  23213  ordtbas2  23214  ordtbas  23215  ordttopon  23216  ordtopn1  23217  ordtopn2  23218  txindislem  23656  ordthmeolem  23824  ptcmplem2  24076  tuslem  24290  tuslemOLD  24291  dvnff  25973  bdayval  27707  noextend  27725  bdayfo  27736  vtxdgf  29503  fdifsuppconst  32703  ressupprn  32704  ofcfval3  34082  braew  34222  omsval  34274  sibfof  34321  sitmcl  34332  cndprobval  34414  tailf  36357  tailfb  36359  ismgmOLD  37836  dfcnvrefrels2  38509  dfcnvrefrels3  38510  rclexi  43604  rtrclexlem  43605  cnvrcl0  43614  dfrtrcl5  43618  relexpmulg  43699  relexp01min  43702  relexpxpmin  43706  unidmex  44989  caragenval  46448  caragenunidm  46463  itcoval0  48511  itcoval1  48512