MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmexg 7599
Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmexg (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmexg
StepHypRef Expression
1 uniexg 7451 . 2 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2 uniexg 7451 . 2 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
3 ssun1 4123 . . . 4 dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4 dmrnssfld 5819 . . . 4 (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ 𝐴
53, 4sstri 3951 . . 3 dom 𝐴 𝐴
6 ssexg 5203 . . 3 ((dom 𝐴 𝐴 𝐴 ∈ V) → dom 𝐴 ∈ V)
75, 6mpan 689 . 2 ( 𝐴 ∈ V → dom 𝐴 ∈ V)
81, 2, 73syl 18 1 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  Vcvv 3469  cun 3906  wss 3908   cuni 4813  dom cdm 5532  ran crn 5533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-rab 3139  df-v 3471  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-cnv 5540  df-dm 5542  df-rn 5543
This theorem is referenced by:  dmexd  7601  dmex  7602  iprc  7604  exse2  7608  xpexr2  7610  xpexcnv  7611  soex  7612  cnvexg  7615  coexg  7620  dmfex  7627  cofunexg  7636  offval3  7669  opabn1stprc  7742  suppval  7819  funsssuppss  7843  suppss  7847  suppssov1  7849  suppssfv  7853  tposexg  7893  tfrlem12  8012  tfrlem13  8013  erexb  8301  f1vrnfibi  8797  oion  8988  fpwwe2lem3  10044  hashfn  13732  fundmge2nop0  13846  fun2dmnop0  13848  trclexlem  14345  relexp0g  14372  relexpsucnnr  14375  o1of2  14960  isofn  17036  ssclem  17080  ssc2  17083  ssctr  17086  subsubc  17114  resf1st  17155  resf2nd  17156  funcres  17157  dprddomprc  19113  dprdval0prc  19115  subgdmdprd  19147  dprd2da  19155  decpmatval0  21367  pmatcollpw3lem  21386  ordtbaslem  21791  ordtuni  21793  ordtbas2  21794  ordtbas  21795  ordttopon  21796  ordtopn1  21797  ordtopn2  21798  txindislem  22236  ordthmeolem  22404  ptcmplem2  22656  tuslem  22871  dvnff  24524  vtxdgf  27259  ofcfval3  31435  braew  31575  omsval  31625  sibfof  31672  sitmcl  31683  cndprobval  31765  hashfundm  32428  hashf1dmrn  32429  bdayval  33229  noextend  33247  bdayfo  33256  tailf  33797  tailfb  33799  ismgmOLD  35247  dfcnvrefrels2  35885  dfcnvrefrels3  35886  rclexi  40246  rtrclexlem  40247  cnvrcl0  40256  dfrtrcl5  40260  relexpmulg  40342  relexp01min  40345  relexpxpmin  40349  unidmex  41619  caragenval  43072  caragenunidm  43087  itcoval0  45016  itcoval1  45017
  Copyright terms: Public domain W3C validator