Theorem dmexg 7840

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexg 7682	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ ∪ 𝐴 ∈ V)
3		ssun1 4127	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4		dmrnssfld 5920	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
5	3, 4	sstri 3940	. . 3 ⊢ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6		ssexg 5265	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴 ∧ ∪ ∪ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	mpan 690	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ V → dom 𝐴 ∈ V)
8	1, 2, 7	3syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4860  dom cdm 5621  ran crn 5622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-cnv 5629  df-dm 5631  df-rn 5632

This theorem is referenced by:  dmexd  7842  dmfex  7844  dmex  7848  iprc  7850  exse2  7856  xpexr2  7858  xpexcnv  7859  soex  7860  cnvexg  7863  coexg  7868  cofunexg  7890  offval3  7923  opabn1stprc  7999  suppval  8101  funsssuppss  8129  suppssov1  8136  suppssov2  8137  suppssfv  8141  tposexg  8179  tfrlem12  8317  tfrlem13  8318  erexb  8656  f1vrnfibi  9237  oion  9433  ttrclexg  9624  fpwwe2lem3  10535  hashfn  14289  hashfundm  14356  hashf1dmrn  14357  fundmge2nop0  14416  fun2dmnop0  14418  trclexlem  14908  relexp0g  14936  relexpsucnnr  14939  o1of2  15527  isofn  17690  ssclem  17734  ssc2  17737  ssctr  17740  subsubc  17768  resf1st  17809  resf2nd  17810  funcres  17811  dprddomprc  19922  dprdval0prc  19924  subgdmdprd  19956  dprd2da  19964  decpmatval0  22699  pmatcollpw3lem  22718  ordtbaslem  23123  ordtuni  23125  ordtbas2  23126  ordtbas  23127  ordttopon  23128  ordtopn1  23129  ordtopn2  23130  txindislem  23568  ordthmeolem  23736  ptcmplem2  23988  tuslem  24201  dvnff  25872  bdayval  27607  noextend  27625  bdayfo  27636  vtxdgf  29471  fdifsuppconst  32694  ressupprn  32695  ofcfval3  34187  braew  34327  omsval  34378  sibfof  34425  sitmcl  34436  cndprobval  34518  tailf  36491  tailfb  36493  ismgmOLD  37963  dfcnvrefrels2  38693  dfcnvrefrels3  38694  rclexi  43772  rtrclexlem  43773  cnvrcl0  43782  dfrtrcl5  43786  relexpmulg  43867  relexp01min  43870  relexpxpmin  43874  unidmex  45211  caragenval  46653  caragenunidm  46668  itcoval0  48824  itcoval1  48825  isofnALT  49192