Theorem dmexg 7841

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7680	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexg 7680	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ ∪ 𝐴 ∈ V)
3		ssun1 4131	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4		dmrnssfld 5919	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
5	3, 4	sstri 3947	. . 3 ⊢ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6		ssexg 5265	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴 ∧ ∪ ∪ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	mpan 690	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ V → dom 𝐴 ∈ V)
8	1, 2, 7	3syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861  dom cdm 5623  ran crn 5624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-rn 5634

This theorem is referenced by:  dmexd  7843  dmfex  7845  dmex  7849  iprc  7851  exse2  7857  xpexr2  7859  xpexcnv  7860  soex  7861  cnvexg  7864  coexg  7869  cofunexg  7891  offval3  7924  opabn1stprc  8000  suppval  8102  funsssuppss  8130  suppssov1  8137  suppssov2  8138  suppssfv  8142  tposexg  8180  tfrlem12  8318  tfrlem13  8319  erexb  8657  f1vrnfibi  9251  oion  9447  ttrclexg  9638  fpwwe2lem3  10546  hashfn  14300  hashfundm  14367  hashf1dmrn  14368  fundmge2nop0  14427  fun2dmnop0  14429  trclexlem  14919  relexp0g  14947  relexpsucnnr  14950  o1of2  15538  isofn  17700  ssclem  17744  ssc2  17747  ssctr  17750  subsubc  17778  resf1st  17819  resf2nd  17820  funcres  17821  dprddomprc  19899  dprdval0prc  19901  subgdmdprd  19933  dprd2da  19941  decpmatval0  22667  pmatcollpw3lem  22686  ordtbaslem  23091  ordtuni  23093  ordtbas2  23094  ordtbas  23095  ordttopon  23096  ordtopn1  23097  ordtopn2  23098  txindislem  23536  ordthmeolem  23704  ptcmplem2  23956  tuslem  24170  dvnff  25841  bdayval  27576  noextend  27594  bdayfo  27605  vtxdgf  29435  fdifsuppconst  32645  ressupprn  32646  ofcfval3  34071  braew  34211  omsval  34263  sibfof  34310  sitmcl  34321  cndprobval  34403  tailf  36351  tailfb  36353  ismgmOLD  37832  dfcnvrefrels2  38507  dfcnvrefrels3  38508  rclexi  43591  rtrclexlem  43592  cnvrcl0  43601  dfrtrcl5  43605  relexpmulg  43686  relexp01min  43689  relexpxpmin  43693  unidmex  45031  caragenval  46478  caragenunidm  46493  itcoval0  48651  itcoval1  48652  isofnALT  49020