Theorem dprddomcld 19915

Description: If a family of subgroups is a family of subgroups for an internal direct product, then it is indexed by a set. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprddomcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprddomcld.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprddomcld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem dprddomcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprddomcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
2		dprddomcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		df-nel 3033	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
4		dprddomprc 19914	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
5	3, 4	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
6	5	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
7		eleq1 2819	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (dom 𝑆 ∈ V ↔ 𝐼 ∈ V))
8	6, 7	imbitrid 244	. 2 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐼 ∈ V))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  Vcvv 3436   class class class wbr 5089  dom cdm 5614   DProd cdprd 19907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-dprd 19909

This theorem is referenced by:  dprdcntz  19922  dprddisj  19923  dprdw  19924  dprdwd  19925  dprdfid  19931  dprdfinv  19933  dprdfadd  19934  dprdfsub  19935  dprdfeq0  19936  dprdf11  19937  dprdlub  19940  dprdres  19942  dprdss  19943  dprdf1o  19946  dmdprdsplitlem  19951  dprddisj2  19953  dmdprdsplit2  19960  dpjfval  19969  dpjidcl  19972