Theorem dprddomcld 20217

Description: If a family of subgroups is a family of subgroups for an internal direct product, then it is indexed by a set. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprddomcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprddomcld.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprddomcld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem dprddomcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprddomcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
2		dprddomcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		df-nel 3063	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
4		dprddomprc 20216	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
5	3, 4	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
6	5	con4i 115	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
7		eleq1 2849	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (dom 𝑆 ∈ V ↔ 𝐼 ∈ V))
8	6, 7	imbitrid 247	. 2 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐼 ∈ V))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  dom cdm 5651   DProd cdprd 20209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-dprd 20211

This theorem is used by:  dprdcntz  20224  dprddisj  20225  dprdw  20226  dprdwd  20227  dprdfid  20233  dprdfinv  20235  dprdfadd  20236  dprdfsub  20237  dprdfeq0  20238  dprdf11  20239  dprdlub  20242  dprdres  20244  dprdss  20245  dprdf1o  20248  dmdprdsplitlem  20253  dprddisj2  20255  dmdprdsplit2  20262  dpjfval  20271  dpjidcl  20274