Theorem dprddomcld 20044

Description: If a family of subgroups is a family of subgroups for an internal direct product, then it is indexed by a set. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprddomcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprddomcld.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprddomcld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem dprddomcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprddomcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
2		dprddomcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		df-nel 3063	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
4		dprddomprc 20043	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
5	3, 4	sylbir 237	. . . 4 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
6	5	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
7		eleq1 2851	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (dom 𝑆 ∈ V ↔ 𝐼 ∈ V))
8	6, 7	imbitrid 246	. 2 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐼 ∈ V))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3062  Vcvv 3455   class class class wbr 5101  dom cdm 5648   DProd cdprd 20036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-dm 5658  df-rn 5659  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-dprd 20038

This theorem is referenced by:  dprdcntz  20051  dprddisj  20052  dprdw  20053  dprdwd  20054  dprdfid  20060  dprdfinv  20062  dprdfadd  20063  dprdfsub  20064  dprdfeq0  20065  dprdf11  20066  dprdlub  20069  dprdres  20071  dprdss  20072  dprdf1o  20075  dmdprdsplitlem  20080  dprddisj2  20082  dmdprdsplit2  20089  dpjfval  20098  dpjidcl  20101