Theorem fvbigcup 36141

Description: For sets, Bigcup yields union. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvbigcup.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvbigcup	⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Proof of Theorem fvbigcup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		fvbigcup.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	uniex 7687	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
4	3	brbigcup 36137	. . 3 ⊢ (𝐴 Bigcup ∪ 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴)
5	1, 4	mpbir 233	. 2 ⊢ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴
6		fnbigcup 36140	. . 3 ⊢ Bigcup Fn V
7		fnbrfvb 6880	. . 3 ⊢ (( Bigcup Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴))
8	6, 2, 7	mp2an 699	. 2 ⊢ (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴)
9	5, 8	mpbir 233	1 ⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∪ cuni 4840   class class class wbr 5074   Fn wfn 6483  ‘cfv 6488   Bigcup cbigcup 36073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-symdif 4183  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fo 6494  df-fv 6496  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-txp 36093  df-bigcup 36097

This theorem is referenced by: (None)