Theorem fvbigcup 36070

Description: For sets, Bigcup yields union. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvbigcup.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvbigcup	⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Proof of Theorem fvbigcup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		fvbigcup.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	uniex 7684	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
4	3	brbigcup 36066	. . 3 ⊢ (𝐴 Bigcup ∪ 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴)
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴
6		fnbigcup 36069	. . 3 ⊢ Bigcup Fn V
7		fnbrfvb 6879	. . 3 ⊢ (( Bigcup Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴))
8	6, 2, 7	mp2an 693	. 2 ⊢ (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴)
9	5, 8	mpbir 231	1 ⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427  ∪ cuni 4840   class class class wbr 5074   Fn wfn 6482  ‘cfv 6487   Bigcup cbigcup 36002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-symdif 4183  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fo 6493  df-fv 6495  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-txp 36022  df-bigcup 36026

This theorem is referenced by: (None)