Theorem fvbigcup 36043

Description: For sets, Bigcup yields union. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvbigcup.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvbigcup	⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Proof of Theorem fvbigcup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		fvbigcup.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	uniex 7684	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
4	3	brbigcup 36039	. . 3 ⊢ (𝐴 Bigcup ∪ 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴)
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴
6		fnbigcup 36042	. . 3 ⊢ Bigcup Fn V
7		fnbrfvb 6882	. . 3 ⊢ (( Bigcup Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴))
8	6, 2, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴)
9	5, 8	mpbir 231	1 ⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490   Bigcup cbigcup 35975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-eprel 5522  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fo 6496  df-fv 6498  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-txp 35995  df-bigcup 35999

This theorem is referenced by: (None)