Theorem fvbigcup 35904

Description: For sets, Bigcup yields union. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvbigcup.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvbigcup	⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Proof of Theorem fvbigcup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		fvbigcup.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	uniex 7762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
4	3	brbigcup 35900	. . 3 ⊢ (𝐴 Bigcup ∪ 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴)
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴
6		fnbigcup 35903	. . 3 ⊢ Bigcup Fn V
7		fnbrfvb 6958	. . 3 ⊢ (( Bigcup Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴))
8	6, 2, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴)
9	5, 8	mpbir 231	1 ⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560   Bigcup cbigcup 35836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-symdif 4252  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-eprel 5583  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fo 6566  df-fv 6568  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-txp 35856  df-bigcup 35860

This theorem is referenced by: (None)