Theorem fvbigcup 36664

Description: For sets, Bigcup yields union. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvbigcup.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvbigcup	⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

Proof of Theorem fvbigcup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		fvbigcup.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	uniex 7758	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
4	3	brbigcup 36660	. . 3 ⊢ (𝐴 Bigcup ∪ 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴)
5	1, 4	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴
6		fnbigcup 36663	. . 3 ⊢ Bigcup Fn V
7		fnbrfvb 6935	. . 3 ⊢ (( Bigcup Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴))
8	6, 2, 7	mp2an 705	. 2 ⊢ (( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴 ↔ 𝐴 Bigcup ∪ 𝐴)
9	5, 8	mpbir 234	1 ⊢ ( Bigcup ‘𝐴) = ∪ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538   Bigcup cbigcup 36596

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-symdif 4198  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-eprel 5550  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-txp 36616  df-bigcup 36620

This theorem is used by: (None)