Theorem eldm 5847

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldmg 5845	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  dom cdm 5622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-dm 5632

This theorem is referenced by:  dmi  5868  dmep  5870  dmxp  5876  dmcoss  5922  dmcossOLD  5923  dmcosseq  5925  dmcosseqOLD  5926  dmcosseqOLDOLD  5927  dminss  6109  dmsnn0  6163  dffun7  6517  dffun8  6518  fnres  6617  opabiota  6914  fndmdif  6986  dff3  7044  frxp  8067  suppvalbr  8105  reldmtpos  8175  dmtpos  8179  aceq3lem  10031  axdc2lem  10359  axdclem2  10431  fpwwe2lem11  10553  nqerf  10842  shftdm  14995  bcthlem4  25272  dchrisumlem3  27442  eulerpath  30300  fundmpss  35955  elfix  36089  fnsingle  36105  fnimage  36115  funpartlem  36130  dfrecs2  36138  dfrdg4  36139  knoppcnlem9  36759  prtlem16  39306  undmrnresiss  44034  isoval2  49468  termolmd  50103