Theorem eldm 5913

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldmg 5911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  dom cdm 5688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-dm 5698

This theorem is referenced by:  dmi  5934  dmep  5936  dmxp  5941  dmcoss  5987  dmcosseq  5989  dmcosseqOLD  5990  dminss  6174  dmsnn0  6228  dffun7  6594  dffun8  6595  fnres  6695  opabiota  6990  fndmdif  7061  dff3  7119  frxp  8149  suppvalbr  8187  reldmtpos  8257  dmtpos  8261  aceq3lem  10157  axdc2lem  10485  axdclem2  10557  fpwwe2lem11  10678  nqerf  10967  shftdm  15106  bcthlem4  25374  dchrisumlem3  27549  eulerpath  30269  fundmpss  35747  elfix  35884  fnsingle  35900  fnimage  35910  funpartlem  35923  dfrecs2  35931  dfrdg4  35932  knoppcnlem9  36483  prtlem16  38850  undmrnresiss  43593