Theorem eldm 5874

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldmg 5872	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 208  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099  dom cdm 5645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-dm 5655

This theorem is referenced by:  dmi  5895  dmep  5897  dmxp  5903  dmcoss  5949  dmcossOLD  5950  dmcosseq  5952  dmcosseqOLD  5953  dmcosseqOLDOLD  5954  dminss  6133  dmsnn0  6188  dffun7  6542  dffun8  6543  fnres  6642  opabiota  6943  fndmdif  7017  dff3  7075  frxp  8099  suppvalbr  8137  reldmtpos  8207  dmtpos  8211  aceq3lem  10071  axdc2lem  10400  axdclem2  10472  fpwwe2lem11  10594  nqerf  10883  shftdm  15079  bcthlem4  25367  dchrisumlem3  27530  eulerpath  30387  fundmpss  36070  elfix  36204  fnsingle  36220  fnimage  36230  funpartlem  36245  dfrecs2  36253  dfrdg4  36254  knoppcnlem9  36892  prtlem16  39446  undmrnresiss  44133  isoval2  49609  termolmd  50244