Theorem eldm 5888

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldmg 5886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  dom cdm 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-dm 5669

This theorem is used by:  dmi  5909  dmep  5911  dmxp  5917  dmcoss  5963  dmcossOLD  5964  dmcosseq  5966  dmcosseqOLD  5967  dminss  6148  dmsnn0  6207  dffun7  6564  dffun8  6565  fnres  6663  opabiota  6964  fndmdif  7038  dff3  7096  frxp  8127  suppvalbr  8165  reldmtpos  8235  dmtpos  8239  aceq3lem  10126  axdc2lem  10453  axdclem2  10525  fpwwe2lem11  10653  nqerf  10942  shftdm  15146  bcthlem4  25556  dchrisumlem3  27725  eulerpath  30707  fundmpss  36333  elfix  36467  fnsingle  36483  fnimage  36493  funpartlem  36508  dfrecs2  36516  dfrdg4  36517  knoppcnlem9  37185  prtlem16  39729  undmrnresiss  44431  isoval2  49948  termolmd  50583