Theorem eldm 5853

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldmg 5851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  dom cdm 5628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-dm 5638

This theorem is referenced by:  dmi  5874  dmep  5876  dmxp  5882  dmcoss  5928  dmcossOLD  5929  dmcosseq  5931  dmcosseqOLD  5932  dmcosseqOLDOLD  5933  dminss  6115  dmsnn0  6169  dffun7  6523  dffun8  6524  fnres  6623  opabiota  6920  fndmdif  6992  dff3  7050  frxp  8073  suppvalbr  8111  reldmtpos  8181  dmtpos  8185  aceq3lem  10039  axdc2lem  10367  axdclem2  10439  fpwwe2lem11  10561  nqerf  10850  shftdm  15030  bcthlem4  25291  dchrisumlem3  27451  eulerpath  30308  fundmpss  35946  elfix  36080  fnsingle  36096  fnimage  36106  funpartlem  36121  dfrecs2  36129  dfrdg4  36130  knoppcnlem9  36758  prtlem16  39312  undmrnresiss  44028  isoval2  49501  termolmd  50136