Theorem eldm 5850

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldmg 5848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   class class class wbr 5099  dom cdm 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-dm 5635

This theorem is referenced by:  dmi  5871  dmep  5873  dmxp  5879  dmcoss  5925  dmcossOLD  5926  dmcosseq  5928  dmcosseqOLD  5929  dmcosseqOLDOLD  5930  dminss  6112  dmsnn0  6166  dffun7  6520  dffun8  6521  fnres  6620  opabiota  6917  fndmdif  6989  dff3  7047  frxp  8071  suppvalbr  8109  reldmtpos  8179  dmtpos  8183  aceq3lem  10035  axdc2lem  10363  axdclem2  10435  fpwwe2lem11  10557  nqerf  10846  shftdm  14999  bcthlem4  25288  dchrisumlem3  27463  eulerpath  30321  fundmpss  35974  elfix  36108  fnsingle  36124  fnimage  36134  funpartlem  36149  dfrecs2  36157  dfrdg4  36158  knoppcnlem9  36714  prtlem16  39208  undmrnresiss  43923  isoval2  49357  termolmd  49992