Theorem ideq 5830

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5829	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   I cid 5545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658

This theorem is used by:  cnvi  5863  dmi  5903  resieq  5981  iss  6029  elidinxp  6038  restidsing  6047  imai  6068  intasym  6107  asymref  6108  intirr  6110  poirr2  6116  xpdifid  6158  coi1  6257  dfpo2  6292  dffun2  6541  dffv2  6972  isof1oidb  7324  idssen  9008  dflt2  13258  relexpindlem  15196  ex-chn1  18791  opsrtoslem2  22345  hausdiag  23944  hauseqlcld  23945  metustid  24853  ltgov  29042  ex-id  31017  dfso2  36489  idsset  36622  dfon3  36624  elfix  36635  dffix2  36637  sscoid  36645  dffun10  36646  elfuns  36647  brsingle  36649  brapply  36670  lemsuccf  36673  dfrdg4  36685  bj-imdiridlem  38074  iss2  39244  undmrnresiss  44563  dffrege99  44921  ipo0  45391  ifr0  45392  fourierdlem42  47103