Theorem ideq 5829

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5828	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   class class class wbr 5105   I cid 5546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659

This theorem is referenced by:  cnvi  5862  dmi  5902  resieq  5980  iss  6028  elidinxp  6037  restidsing  6046  imai  6067  intasym  6106  asymref  6107  intirr  6109  poirr2  6115  xpdifid  6157  coi1  6254  dfpo2  6287  dffun2  6535  dffv2  6966  isof1oidb  7312  idssen  8982  dflt2  13164  relexpindlem  15090  ex-chn1  18683  opsrtoslem2  22167  hausdiag  23763  hauseqlcld  23764  metustid  24672  ltgov  28824  ex-id  30694  dfso2  36118  idsset  36251  dfon3  36253  elfix  36264  dffix2  36266  sscoid  36274  dffun10  36275  elfuns  36276  brsingle  36278  brapply  36299  lemsuccf  36302  dfrdg4  36314  bj-imdiridlem  37689  iss2  38855  undmrnresiss  44192  dffrege99  44550  ipo0  45022  ifr0  45023  fourierdlem42  46721