Theorem ideq 5801

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5800	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   I cid 5518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631

This theorem is referenced by:  dmi  5870  resieq  5949  iss  5994  elidinxp  6003  restidsing  6012  imai  6033  intasym  6072  asymref  6073  intirr  6075  poirr2  6081  cnvi  6099  xpdifid  6126  coi1  6221  dfpo2  6254  dffun2  6502  dffv2  6929  isof1oidb  7270  idssen  8934  dflt2  13062  relexpindlem  14986  ex-chn1  18560  opsrtoslem2  22011  hausdiag  23589  hauseqlcld  23590  metustid  24498  ltgov  28669  ex-id  30509  dfso2  35949  idsset  36082  dfon3  36084  elfix  36095  dffix2  36097  sscoid  36105  dffun10  36106  elfuns  36107  brsingle  36109  brapply  36130  lemsuccf  36133  dfrdg4  36145  bj-imdiridlem  37386  iss2  38533  undmrnresiss  43841  dffrege99  44199  ipo0  44685  ifr0  44686  fourierdlem42  46389