Theorem ideq 5797

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5796	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5093   I cid 5513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626

This theorem is referenced by:  dmi  5866  resieq  5944  iss  5989  elidinxp  5998  restidsing  6007  imai  6028  intasym  6067  asymref  6068  intirr  6070  poirr2  6076  cnvi  6094  xpdifid  6121  coi1  6216  dfpo2  6249  dffun2  6497  dffv2  6923  isof1oidb  7264  idssen  8925  dflt2  13053  relexpindlem  14976  ex-chn1  18549  opsrtoslem2  21997  hausdiag  23566  hauseqlcld  23567  metustid  24475  ltgov  28581  ex-id  30421  dfso2  35806  idsset  35939  dfon3  35941  elfix  35952  dffix2  35954  sscoid  35962  dffun10  35963  elfuns  35964  brsingle  35966  brapply  35987  lemsuccf  35990  dfrdg4  36002  bj-imdiridlem  37236  iss2  38382  undmrnresiss  43702  dffrege99  44060  ipo0  44546  ifr0  44547  fourierdlem42  46252