Theorem ideq 5822

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5821	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099   I cid 5539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652

This theorem is referenced by:  cnvi  5855  dmi  5895  resieq  5974  iss  6021  elidinxp  6030  restidsing  6039  imai  6060  intasym  6099  asymref  6100  intirr  6102  poirr2  6108  xpdifid  6150  coi1  6246  dfpo2  6279  dffun2  6527  dffv2  6958  isof1oidb  7304  idssen  8974  dflt2  13147  relexpindlem  15073  ex-chn1  18652  opsrtoslem2  22089  hausdiag  23685  hauseqlcld  23686  metustid  24594  ltgov  28743  ex-id  30582  dfso2  36069  idsset  36202  dfon3  36204  elfix  36215  dffix2  36217  sscoid  36225  dffun10  36226  elfuns  36227  brsingle  36229  brapply  36250  lemsuccf  36253  dfrdg4  36265  bj-imdiridlem  37641  iss2  38807  undmrnresiss  44144  dffrege99  44502  ipo0  44988  ifr0  44989  fourierdlem42  46687