Theorem ideq 5801

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5800	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   I cid 5519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632

This theorem is referenced by:  dmi  5870  resieq  5949  iss  5994  elidinxp  6003  restidsing  6012  imai  6033  intasym  6072  asymref  6073  intirr  6075  poirr2  6081  cnvi  6099  xpdifid  6126  coi1  6221  dfpo2  6254  dffun2  6502  dffv2  6929  isof1oidb  7275  idssen  8941  dflt2  13097  relexpindlem  15023  ex-chn1  18601  opsrtoslem2  22039  hausdiag  23635  hauseqlcld  23636  metustid  24544  ltgov  28690  ex-id  30529  dfso2  35990  idsset  36123  dfon3  36125  elfix  36136  dffix2  36138  sscoid  36146  dffun10  36147  elfuns  36148  brsingle  36150  brapply  36171  lemsuccf  36174  dfrdg4  36186  bj-imdiridlem  37552  iss2  38718  undmrnresiss  44055  dffrege99  44413  ipo0  44899  ifr0  44900  fourierdlem42  46599