Theorem ideq 5840

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5839	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110   I cid 5557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670

This theorem is referenced by:  cnvi  5873  dmi  5913  resieq  5991  iss  6039  elidinxp  6048  restidsing  6057  imai  6078  intasym  6117  asymref  6118  intirr  6120  poirr2  6126  xpdifid  6167  coi1  6266  dfpo2  6299  dffun2  6548  dffv2  6978  isof1oidb  7324  idssen  8995  dflt2  13174  relexpindlem  15102  ex-chn1  18694  opsrtoslem2  22188  hausdiag  23783  hauseqlcld  23784  metustid  24692  ltgov  28844  ex-id  30763  dfso2  36225  idsset  36358  dfon3  36360  elfix  36371  dffix2  36373  sscoid  36381  dffun10  36382  elfuns  36383  brsingle  36385  brapply  36406  lemsuccf  36409  dfrdg4  36421  bj-imdiridlem  37807  iss2  38971  undmrnresiss  44310  dffrege99  44668  ipo0  45138  ifr0  45139  fourierdlem42  46843