Theorem ideq 5836

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5835	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107   I cid 5553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666

This theorem is used by:  cnvi  5869  dmi  5909  resieq  5987  iss  6035  elidinxp  6044  restidsing  6053  imai  6074  intasym  6113  asymref  6114  intirr  6116  poirr2  6122  xpdifid  6164  coi1  6263  dfpo2  6298  dffun2  6547  dffv2  6977  isof1oidb  7329  idssen  9007  dflt2  13203  relexpindlem  15140  ex-chn1  18731  opsrtoslem2  22278  hausdiag  23877  hauseqlcld  23878  metustid  24786  ltgov  28947  ex-id  30922  dfso2  36342  idsset  36475  dfon3  36477  elfix  36488  dffix2  36490  sscoid  36498  dffun10  36499  elfuns  36500  brsingle  36502  brapply  36523  lemsuccf  36526  dfrdg4  36538  bj-imdiridlem  37945  iss2  39100  undmrnresiss  44452  dffrege99  44810  ipo0  45280  ifr0  45281  fourierdlem42  46985