Theorem ideq 5807

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5806	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   I cid 5525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638

This theorem is referenced by:  dmi  5876  resieq  5955  iss  6000  elidinxp  6009  restidsing  6018  imai  6039  intasym  6078  asymref  6079  intirr  6081  poirr2  6087  cnvi  6105  xpdifid  6132  coi1  6227  dfpo2  6260  dffun2  6508  dffv2  6935  isof1oidb  7279  idssen  8944  dflt2  13099  relexpindlem  15025  ex-chn1  18603  opsrtoslem2  22034  hausdiag  23610  hauseqlcld  23611  metustid  24519  ltgov  28665  ex-id  30504  dfso2  35937  idsset  36070  dfon3  36072  elfix  36083  dffix2  36085  sscoid  36093  dffun10  36094  elfuns  36095  brsingle  36097  brapply  36118  lemsuccf  36121  dfrdg4  36133  bj-imdiridlem  37499  iss2  38665  undmrnresiss  44031  dffrege99  44389  ipo0  44875  ifr0  44876  fourierdlem42  46577