Theorem ideq 5801

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5800	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   I cid 5518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631

This theorem is referenced by:  dmi  5870  resieq  5949  iss  5994  elidinxp  6003  restidsing  6012  imai  6033  intasym  6072  asymref  6073  intirr  6075  poirr2  6081  cnvi  6099  xpdifid  6126  coi1  6221  dfpo2  6254  dffun2  6502  dffv2  6929  isof1oidb  7272  idssen  8937  dflt2  13090  relexpindlem  15016  ex-chn1  18594  opsrtoslem2  22044  hausdiag  23620  hauseqlcld  23621  metustid  24529  ltgov  28679  ex-id  30519  dfso2  35953  idsset  36086  dfon3  36088  elfix  36099  dffix2  36101  sscoid  36109  dffun10  36110  elfuns  36111  brsingle  36113  brapply  36134  lemsuccf  36137  dfrdg4  36149  bj-imdiridlem  37515  iss2  38679  undmrnresiss  44049  dffrege99  44407  ipo0  44893  ifr0  44894  fourierdlem42  46595