Theorem ideq 5717

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5716	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   class class class wbr 5058   I cid 5453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556

This theorem is referenced by:  dmi  5785  resieq  5858  iss  5897  elidinxp  5905  restidsing  5916  imai  5936  intasym  5969  asymref  5970  intirr  5972  poirr2  5978  cnvi  5994  xpdifid  6019  coi1  6109  dffv2  6750  isof1oidb  7071  idssen  8548  dflt2  12535  relexpindlem  14416  opsrtoslem2  20259  hausdiag  22247  hauseqlcld  22248  metustid  23158  ltgov  26377  ex-id  28207  dfso2  32985  dfpo2  32986  idsset  33346  dfon3  33348  elfix  33359  dffix2  33361  sscoid  33369  dffun10  33370  elfuns  33371  brsingle  33373  brapply  33394  brsuccf  33397  dfrdg4  33407  bj-imdirid  34469  iss2  35595  undmrnresiss  39957  dffrege99  40301  ipo0  40774  ifr0  40775  fourierdlem42  42428