Theorem ideq 5706

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5705	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   class class class wbr 5039   I cid 5439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543

This theorem is referenced by:  dmi  5775  resieq  5847  iss  5888  elidinxp  5896  restidsing  5907  imai  5927  intasym  5960  asymref  5961  intirr  5963  poirr2  5969  cnvi  5985  xpdifid  6011  coi1  6106  dffv2  6784  isof1oidb  7111  idssen  8651  dflt2  12703  relexpindlem  14591  opsrtoslem2  20967  hausdiag  22496  hauseqlcld  22497  metustid  23406  ltgov  26642  ex-id  28471  dfso2  33391  dfpo2  33392  idsset  33878  dfon3  33880  elfix  33891  dffix2  33893  sscoid  33901  dffun10  33902  elfuns  33903  brsingle  33905  brapply  33926  brsuccf  33929  dfrdg4  33939  bj-imdiridlem  35040  iss2  36165  undmrnresiss  40829  dffrege99  41188  ipo0  41681  ifr0  41682  fourierdlem42  43308