Theorem ellimits 35874

Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
ellimits.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ellimits	⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limits 35824	. . 3 ⊢ Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
2	1	eleq2i 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3		eldif 3986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4		3anan32 1097	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-lim 6400	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
6		elin 3992	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ))
7		ellimits.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	elon 6404	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
9	7	elfix 35867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 Bigcup 𝐴)
10	7	brbigcup 35862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐴)
11		eqcom 2747	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐴 ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
12	9, 10, 11	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
13	8, 12	anbi12i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
14	6, 13	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
15	7	elsn 4663	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
16	15	necon3bbii 2994	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
17	14, 16	anbi12i 627	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
18	4, 5, 17	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
19	2, 3, 18	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  Ord word 6394  Oncon0 6395  Lim wlim 6396   Bigcup cbigcup 35798   Fix cfix 35799   Limits climits 35800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fo 6579  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-txp 35818  df-bigcup 35822  df-fix 35823  df-limits 35824

This theorem is referenced by:  dfom5b  35876  dfrdg4  35915