Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimits 35911
Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ellimits (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 35861 . . 3 Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
21eleq2i 2833 . 2 (𝐴 Limits 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3 eldif 3961 . 2 (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4 3anan32 1097 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5 df-lim 6389 . . 3 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
6 elin 3967 . . . . 5 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ))
7 ellimits.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
87elon 6393 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
97elfix 35904 . . . . . . 7 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 Bigcup 𝐴)
107brbigcup 35899 . . . . . . 7 (𝐴 Bigcup 𝐴 𝐴 = 𝐴)
11 eqcom 2744 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐴)
129, 10, 113bitri 297 . . . . . 6 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 = 𝐴)
138, 12anbi12i 628 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
146, 13bitri 275 . . . 4 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
157elsn 4641 . . . . 5 (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
1615necon3bbii 2988 . . . 4 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
1714, 16anbi12i 628 . . 3 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
184, 5, 173bitr4ri 304 . 2 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
192, 3, 183bitri 297 1 (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  c0 4333  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385   Bigcup cbigcup 35835   Fix cfix 35836   Limits climits 35837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-txp 35855  df-bigcup 35859  df-fix 35860  df-limits 35861
This theorem is referenced by:  dfom5b  35913  dfrdg4  35952
  Copyright terms: Public domain W3C validator