Theorem ellimits 36222

Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
ellimits.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ellimits	⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limits 36172	. . 3 ⊢ Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3		eldif 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4		3anan32 1107	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-lim 6347	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
6		elin 3920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ))
7		ellimits.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	elon 6351	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
9	7	elfix 36215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 Bigcup 𝐴)
10	7	brbigcup 36210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐴)
11		eqcom 2768	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐴 ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
12	9, 10, 11	3bitri 299	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
13	8, 12	anbi12i 637	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
14	6, 13	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
15	7	elsn 4596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
16	15	necon3bbii 3003	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
17	14, 16	anbi12i 637	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
18	4, 5, 17	3bitr4ri 306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
19	2, 3, 18	3bitri 299	1 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4581  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099  Ord word 6341  Oncon0 6342  Lim wlim 6343   Bigcup cbigcup 36146   Fix cfix 36147   Limits climits 36148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fo 6523  df-fv 6525  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-txp 36166  df-bigcup 36170  df-fix 36171  df-limits 36172

This theorem is referenced by:  dfom5b  36224  dfrdg4  36265