Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimits 32986
Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ellimits (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 32936 . . 3 Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
21eleq2i 2874 . 2 (𝐴 Limits 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3 eldif 3873 . 2 (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4 3anan32 1090 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5 df-lim 6076 . . 3 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
6 elin 4094 . . . . 5 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ))
7 ellimits.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
87elon 6080 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
97elfix 32979 . . . . . . 7 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 Bigcup 𝐴)
107brbigcup 32974 . . . . . . 7 (𝐴 Bigcup 𝐴 𝐴 = 𝐴)
11 eqcom 2802 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐴)
129, 10, 113bitri 298 . . . . . 6 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 = 𝐴)
138, 12anbi12i 626 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
146, 13bitri 276 . . . 4 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
157elsn 4491 . . . . 5 (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
1615necon3bbii 3031 . . . 4 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
1714, 16anbi12i 626 . . 3 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
184, 5, 173bitr4ri 305 . 2 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
192, 3, 183bitri 298 1 (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  cdif 3860  cin 3862  c0 4215  {csn 4476   cuni 4749   class class class wbr 4966  Ord word 6070  Oncon0 6071  Lim wlim 6072   Bigcup cbigcup 32910   Fix cfix 32911   Limits climits 32912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-symdif 4143  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-fo 6236  df-fv 6238  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-txp 32930  df-bigcup 32934  df-fix 32935  df-limits 32936
This theorem is referenced by:  dfom5b  32988  dfrdg4  33027
  Copyright terms: Public domain W3C validator