Theorem ellimits 36266

Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
ellimits.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ellimits	⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limits 36216	. . 3 ⊢ Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
2	1	eleq2i 2857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3		eldif 3917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4		3anan32 1111	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-lim 6354	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
6		elin 3923	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ))
7		ellimits.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	elon 6358	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
9	7	elfix 36259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 Bigcup 𝐴)
10	7	brbigcup 36254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐴)
11		eqcom 2772	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐴 ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
12	9, 10, 11	3bitri 300	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
13	8, 12	anbi12i 639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
14	6, 13	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
15	7	elsn 4600	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
16	15	necon3bbii 3007	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
17	14, 16	anbi12i 639	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
18	4, 5, 17	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
19	2, 3, 18	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906  ∅c0 4288  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5104  Ord word 6348  Oncon0 6349  Lim wlim 6350   Bigcup cbigcup 36190   Fix cfix 36191   Limits climits 36192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-symdif 4208  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fo 6531  df-fv 6533  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-txp 36210  df-bigcup 36214  df-fix 36215  df-limits 36216

This theorem is referenced by:  dfom5b  36268  dfrdg4  36309