Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimits 34882
Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ellimits (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 34832 . . 3 Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
21eleq2i 2826 . 2 (𝐴 Limits 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3 eldif 3959 . 2 (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4 3anan32 1098 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5 df-lim 6370 . . 3 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
6 elin 3965 . . . . 5 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ))
7 ellimits.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
87elon 6374 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
97elfix 34875 . . . . . . 7 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 Bigcup 𝐴)
107brbigcup 34870 . . . . . . 7 (𝐴 Bigcup 𝐴 𝐴 = 𝐴)
11 eqcom 2740 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐴)
129, 10, 113bitri 297 . . . . . 6 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 = 𝐴)
138, 12anbi12i 628 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
146, 13bitri 275 . . . 4 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
157elsn 4644 . . . . 5 (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
1615necon3bbii 2989 . . . 4 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
1714, 16anbi12i 628 . . 3 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
184, 5, 173bitr4ri 304 . 2 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
192, 3, 183bitri 297 1 (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  cdif 3946  cin 3948  c0 4323  {csn 4629   cuni 4909   class class class wbr 5149  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366   Bigcup cbigcup 34806   Fix cfix 34807   Limits climits 34808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fo 6550  df-fv 6552  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-txp 34826  df-bigcup 34830  df-fix 34831  df-limits 34832
This theorem is referenced by:  dfom5b  34884  dfrdg4  34923
  Copyright terms: Public domain W3C validator