Theorem ellimits 36381

Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
ellimits.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ellimits	⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limits 36331	. . 3 ⊢ Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
2	1	eleq2i 2855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3		eldif 3916	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4		3anan32 1113	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-lim 6367	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
6		elin 3922	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ))
7		ellimits.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	elon 6371	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
9	7	elfix 36374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 Bigcup 𝐴)
10	7	brbigcup 36369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐴)
11		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐴 ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
12	9, 10, 11	3bitri 300	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
13	8, 12	anbi12i 639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
14	6, 13	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
15	7	elsn 4605	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
16	15	necon3bbii 3005	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
17	14, 16	anbi12i 639	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
18	4, 5, 17	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
19	2, 3, 18	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {csn 4590  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363   Bigcup cbigcup 36305   Fix cfix 36306   Limits climits 36307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-txp 36325  df-bigcup 36329  df-fix 36330  df-limits 36331

This theorem is referenced by:  dfom5b  36383  dfrdg4  36424