Theorem ellimits 34139

Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
ellimits.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ellimits	⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limits 34089	. . 3 ⊢ Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
2	1	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3		eldif 3893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4		3anan32 1095	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-lim 6256	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
6		elin 3899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ))
7		ellimits.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	elon 6260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
9	7	elfix 34132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 Bigcup 𝐴)
10	7	brbigcup 34127	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐴)
11		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐴 ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
12	9, 10, 11	3bitri 296	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fix Bigcup ↔ 𝐴 = ∪ 𝐴)
13	8, 12	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
14	6, 13	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
15	7	elsn 4573	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
16	15	necon3bbii 2990	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
17	14, 16	anbi12i 626	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
18	4, 5, 17	3bitr4ri 303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
19	2, 3, 18	3bitri 296	1 ⊢ (𝐴 ∈ Limits ↔ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  Ord word 6250  Oncon0 6251  Lim wlim 6252   Bigcup cbigcup 34063   Fix cfix 34064   Limits climits 34065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fo 6424  df-fv 6426  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-txp 34083  df-bigcup 34087  df-fix 34088  df-limits 34089

This theorem is referenced by:  dfom5b  34141  dfrdg4  34180