MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elimasni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elimasni 6091
Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by NM, 5-Aug-2010.)
Assertion
Ref Expression
elimasni (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Proof of Theorem elimasni
StepHypRef Expression
1 noel 4331 . . . . 5 ¬ 𝐶 ∈ ∅
2 snprc 4722 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
32biimpi 215 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
43imaeq2d 6060 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = (𝐴 “ ∅))
5 ima0 6077 . . . . . . 7 (𝐴 “ ∅) = ∅
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . 6 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = ∅)
76eleq2d 2820 . . . . 5 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
81, 7mtbiri 327 . . . 4 𝐵 ∈ V → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}))
98con4i 114 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵 ∈ V)
10 elex 3493 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐶 ∈ V)
119, 10jca 513 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
12 elimasng1 6086 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
1312biimpd 228 . 2 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶))
1411, 13mpcom 38 1 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  cima 5680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690
This theorem is referenced by:  dffv2  6987  poimirlem2  36490  poimirlem23  36511
  Copyright terms: Public domain W3C validator