MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elimasni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elimasni 6109
Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by NM, 5-Aug-2010.)
Assertion
Ref Expression
elimasni (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Proof of Theorem elimasni
StepHypRef Expression
1 noel 4338 . . . . 5 ¬ 𝐶 ∈ ∅
2 snprc 4717 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
32biimpi 216 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
43imaeq2d 6078 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = (𝐴 “ ∅))
5 ima0 6095 . . . . . . 7 (𝐴 “ ∅) = ∅
64, 5eqtrdi 2793 . . . . . 6 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = ∅)
76eleq2d 2827 . . . . 5 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
81, 7mtbiri 327 . . . 4 𝐵 ∈ V → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}))
98con4i 114 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵 ∈ V)
10 elex 3501 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐶 ∈ V)
119, 10jca 511 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
12 elimasng1 6105 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
1312biimpd 229 . 2 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶))
1411, 13mpcom 38 1 (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cima 5688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698
This theorem is referenced by:  dffv2  7004  poimirlem2  37629  poimirlem23  37650
  Copyright terms: Public domain W3C validator