Theorem elimasni 6083

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by NM, 5-Aug-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elimasni	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Proof of Theorem elimasni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4318	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐶 ∈ ∅
2		snprc 4698	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
3	2	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
4	3	imaeq2d 6052	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = (𝐴 “ ∅))
5		ima0 6069	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = ∅)
7	6	eleq2d 2821	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
8	1, 7	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}))
9	8	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵 ∈ V)
10		elex 3485	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐶 ∈ V)
11	9, 10	jca 511	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
12		elimasng1 6079	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
13	12	biimpd 229	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶))
14	11, 13	mpcom 38	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5124   “ cima 5662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672

This theorem is referenced by:  dffv2  6979  poimirlem2  37651  poimirlem23  37672