Theorem elimasni 5746

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by NM, 5-Aug-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elimasni	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Proof of Theorem elimasni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4145	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐶 ∈ ∅
2		snprc 4483	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
3	2	biimpi 208	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
4	3	imaeq2d 5720	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = (𝐴 “ ∅))
5		ima0 5735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅
6	4, 5	syl6eq 2829	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = ∅)
7	6	eleq2d 2844	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
8	1, 7	mtbiri 319	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}))
9	8	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵 ∈ V)
10		elex 3413	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐶 ∈ V)
11	9, 10	jca 507	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
12		elimasng 5745	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))
13		df-br 4887	. . . 4 ⊢ (𝐵𝐴𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴)
14	12, 13	syl6bbr 281	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
15	14	biimpd 221	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶))
16	11, 15	mpcom 38	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397  ∅c0 4140  {csn 4397  ⟨cop 4403   class class class wbr 4886   “ cima 5358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-br 4887  df-opab 4949  df-xp 5361  df-cnv 5363  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368

This theorem is referenced by:  dffv2  6531  poimirlem2  34021  poimirlem23  34042