Theorem elimasni 5923

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by NM, 5-Aug-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elimasni	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Proof of Theorem elimasni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4247	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐶 ∈ ∅
2		snprc 4613	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
3	2	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
4	3	imaeq2d 5896	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = (𝐴 “ ∅))
5		ima0 5912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 “ {𝐵}) = ∅)
7	6	eleq2d 2875	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
8	1, 7	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}))
9	8	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵 ∈ V)
10		elex 3459	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐶 ∈ V)
11	9, 10	jca 515	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
12		elimasng 5922	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))
13		df-br 5031	. . . 4 ⊢ (𝐵𝐴𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴)
14	12, 13	syl6bbr 292	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
15	14	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶))
16	11, 15	mpcom 38	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) → 𝐵𝐴𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030   “ cima 5522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532

This theorem is referenced by:  dffv2  6733  poimirlem2  35059  poimirlem23  35080