Theorem ensucne0 44529

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof shortened by SN, 16-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6448	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
2		en0r 9047	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 = ∅)
3	1, 2	nemtbir 3052	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc 𝐵
4		breq1 5106	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∅ ≈ suc 𝐵))
5	3, 4	mtbiri 330	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6	5	necon2ai 2985	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2956  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  suc csuc 6364   ≈ cen 8970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-suc 6368  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-en 8974

This theorem is used by: (None)