Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ensucne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensucne0 40234
Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof shortened by SN, 16-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
ensucne0 (𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0
StepHypRef Expression
1 nsuceq0 6243 . . . 4 suc 𝐵 ≠ ∅
2 ensymb 8544 . . . . 5 (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≈ ∅)
3 en0 8559 . . . . 5 (suc 𝐵 ≈ ∅ ↔ suc 𝐵 = ∅)
42, 3bitri 278 . . . 4 (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 = ∅)
51, 4nemtbir 3085 . . 3 ¬ ∅ ≈ suc 𝐵
6 breq1 5036 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∅ ≈ suc 𝐵))
75, 6mtbiri 330 . 2 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
87necon2ai 3019 1 (𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wne 2990  c0 4246   class class class wbr 5033  suc csuc 6165  cen 8493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-suc 6169  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-er 8276  df-en 8497
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator