Theorem ensucne0 41034

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof shortened by SN, 16-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6331	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
2		ensymb 8743	. . . . 5 ⊢ (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≈ ∅)
3		en0 8758	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ≈ ∅ ↔ suc 𝐵 = ∅)
4	2, 3	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 = ∅)
5	1, 4	nemtbir 3039	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc 𝐵
6		breq1 5073	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∅ ≈ suc 𝐵))
7	5, 6	mtbiri 326	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
8	7	necon2ai 2972	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ≠ wne 2942  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  suc csuc 6253   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-suc 6257  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-er 8456  df-en 8692

This theorem is referenced by: (None)