Theorem ensucne0 43770

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof shortened by SN, 16-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6402	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
2		en0r 8957	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 = ∅)
3	1, 2	nemtbir 3028	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc 𝐵
4		breq1 5101	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∅ ≈ suc 𝐵))
5	3, 4	mtbiri 327	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6	5	necon2ai 2961	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ≠ wne 2932  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  suc csuc 6319   ≈ cen 8880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-suc 6323  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-en 8884

This theorem is referenced by: (None)