Theorem ensucne0 42990

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof shortened by SN, 16-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6457	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
2		en0r 9047	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 = ∅)
3	1, 2	nemtbir 3035	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc 𝐵
4		breq1 5155	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∅ ≈ suc 𝐵))
5	3, 4	mtbiri 326	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6	5	necon2ai 2967	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ≠ wne 2937  ∅c0 4326   class class class wbr 5152  suc csuc 6376   ≈ cen 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-mo 2529  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-suc 6380  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-en 8971

This theorem is referenced by: (None)