Theorem ensucne0OLD 43687

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0OLD	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8887	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → suc 𝐵 ∈ V)
3		en0 8951	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
4	3	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅))
6		nsuceq0 6399	. . . . . 6 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
7		0sdomg 9030	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (∅ ≺ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → ∅ ≺ suc 𝐵)
9	5, 8	jctird 526	. . . 4 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵)))
10		ensdomtr 9037	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → 𝐴 ≺ suc 𝐵)
11		sdomnen 8914	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
13	9, 12	syl6 35	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵))
14	13	necon2ad 2944	. 2 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅))
15	2, 14	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437  ∅c0 4282   class class class wbr 5095  suc csuc 6316   ≈ cen 8876   ≺ csdm 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-suc 6320  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882

This theorem is referenced by: (None)