Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ensucne0OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensucne0OLD 41809
Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ensucne0OLD (𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0OLD
StepHypRef Expression
1 encv 8892 . . 3 (𝐴 ≈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝐵 ∈ V))
21simprd 497 . 2 (𝐴 ≈ suc 𝐵 → suc 𝐵 ∈ V)
3 en0 8958 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
43biimpri 227 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
54a1i 11 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅))
6 nsuceq0 6401 . . . . . 6 suc 𝐵 ≠ ∅
7 0sdomg 9049 . . . . . 6 (suc 𝐵 ∈ V → (∅ ≺ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≠ ∅))
86, 7mpbiri 258 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ V → ∅ ≺ suc 𝐵)
95, 8jctird 528 . . . 4 (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵)))
10 ensdomtr 9058 . . . . 5 ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → 𝐴 ≺ suc 𝐵)
11 sdomnen 8922 . . . . 5 (𝐴 ≺ suc 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
139, 12syl6 35 . . 3 (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵))
1413necon2ad 2959 . 2 (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴 ≠ ∅))
152, 14mpcom 38 1 (𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3446  c0 4283   class class class wbr 5106  suc csuc 6320  cen 8881  csdm 8883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-suc 6324  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator