Theorem ensucne0OLD 43024

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0OLD	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8968	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 494	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → suc 𝐵 ∈ V)
3		en0 9034	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
4	3	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅))
6		nsuceq0 6447	. . . . . 6 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
7		0sdomg 9125	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (∅ ≺ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → ∅ ≺ suc 𝐵)
9	5, 8	jctird 525	. . . 4 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵)))
10		ensdomtr 9134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → 𝐴 ≺ suc 𝐵)
11		sdomnen 8998	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
13	9, 12	syl6 35	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵))
14	13	necon2ad 2945	. 2 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅))
15	2, 14	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463  ∅c0 4318   class class class wbr 5143  suc csuc 6366   ≈ cen 8957   ≺ csdm 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-suc 6370  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963

This theorem is referenced by: (None)