Theorem ensucne0OLD 44370

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0OLD	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8960	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → suc 𝐵 ∈ V)
3		en0 9024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
4	3	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅))
6		nsuceq0 6443	. . . . . 6 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
7		0sdomg 9104	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (∅ ≺ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → ∅ ≺ suc 𝐵)
9	5, 8	jctird 536	. . . 4 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵)))
10		ensdomtr 9111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → 𝐴 ≺ suc 𝐵)
11		sdomnen 8987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
13	9, 12	syl6 36	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵))
14	13	necon2ad 2970	. 2 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅))
15	2, 14	mpcom 39	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  suc csuc 6359   ≈ cen 8949   ≺ csdm 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-suc 6363  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955

This theorem is used by: (None)