Theorem ensucne0OLD 40822

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0OLD	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8634	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 499	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → suc 𝐵 ∈ V)
3		en0 8691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
4	3	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅))
6		nsuceq0 6293	. . . . . 6 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
7		0sdomg 8775	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (∅ ≺ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → ∅ ≺ suc 𝐵)
9	5, 8	jctird 530	. . . 4 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵)))
10		ensdomtr 8782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → 𝐴 ≺ suc 𝐵)
11		sdomnen 8657	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
13	9, 12	syl6 35	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵))
14	13	necon2ad 2955	. 2 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅))
15	2, 14	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408  ∅c0 4237   class class class wbr 5053  suc csuc 6215   ≈ cen 8623   ≺ csdm 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-suc 6219  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629

This theorem is referenced by: (None)