Theorem ensucne0OLD 43526

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0OLD	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8929	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → suc 𝐵 ∈ V)
3		en0 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
4	3	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅))
6		nsuceq0 6420	. . . . . 6 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
7		0sdomg 9076	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (∅ ≺ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → ∅ ≺ suc 𝐵)
9	5, 8	jctird 526	. . . 4 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵)))
10		ensdomtr 9083	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → 𝐴 ≺ suc 𝐵)
11		sdomnen 8955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ ∅ ∧ ∅ ≺ suc 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
13	9, 12	syl6 35	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵))
14	13	necon2ad 2941	. 2 ⊢ (suc 𝐵 ∈ V → (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅))
15	2, 14	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  suc csuc 6337   ≈ cen 8918   ≺ csdm 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924

This theorem is referenced by: (None)