Theorem tr3dom 44666

Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tr3dom	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4589	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prex 5396	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
4		undjudom 10253	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6		pr2dom 44665	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7		djudom1 10268	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
8	6, 3, 7	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9		sn1dom 44664	. . . . . 6 ⊢ {𝐶} ≼ 1o
10		2on 8498	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
11		djudom2 10269	. . . . . 6 ⊢ (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13		domtr 9042	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15		1on 8497	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
16		onadju 10279	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
17	10, 15, 16	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
18	17	ensymi 9039	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19		oa1suc 8547	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) = suc 2o
21		df-3o 8486	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
22	20, 21	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (2o +o 1o) = 3o
23	18, 22	breqtri 5129	. . . 4 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24		domentr 9048	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
25	14, 23, 24	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26		domtr 9042	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
27	5, 25, 26	mp2an 705	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
28	1, 27	eqbrtri 5125	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∪ cun 4148  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588   class class class wbr 5102  Oncon0 6365  suc csuc 6367  (class class class)co 7424  1_oc1o 8477  2_oc2o 8478  3_oc3o 8479   +_o coa 8481   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979   ⊔ cdju 9986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-3o 8486  df-oadd 8488  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-dju 9989

This theorem is used by: (None)