Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tr3dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tr3dom 40229
 Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
tr3dom {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom
StepHypRef Expression
1 df-tp 4533 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prex 5301 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3 snex 5300 . . . 4 {𝐶} ∈ V
4 undjudom 9582 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
52, 3, 4mp2an 691 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6 pr2dom 40228 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7 djudom1 9597 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
86, 3, 7mp2an 691 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9 sn1dom 40227 . . . . . 6 {𝐶} ≼ 1o
10 2on 8098 . . . . . 6 2o ∈ On
11 djudom2 9598 . . . . . 6 (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
129, 10, 11mp2an 691 . . . . 5 (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13 domtr 8549 . . . . 5 ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
148, 12, 13mp2an 691 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15 1on 8096 . . . . . . 7 1o ∈ On
16 onadju 9608 . . . . . . 7 ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
1710, 15, 16mp2an 691 . . . . . 6 (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
1817ensymi 8546 . . . . 5 (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19 oa1suc 8143 . . . . . . 7 (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
2010, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (2o +o 1o) = suc 2o
21 df-3o 8091 . . . . . 6 3o = suc 2o
2220, 21eqtr4i 2827 . . . . 5 (2o +o 1o) = 3o
2318, 22breqtri 5058 . . . 4 (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24 domentr 8555 . . . 4 ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
2514, 23, 24mp2an 691 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26 domtr 8549 . . 3 ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
275, 25, 26mp2an 691 . 2 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
281, 27eqbrtri 5054 1 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∪ cun 3882  {csn 4528  {cpr 4530  {ctp 4532   class class class wbr 5033  Oncon0 6163  suc csuc 6165  (class class class)co 7139  1oc1o 8082  2oc2o 8083  3oc3o 8084   +o coa 8086   ≈ cen 8493   ≼ cdom 8494   ⊔ cdju 9315 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-3o 8091  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-dju 9318 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator