Theorem tr3dom 39968

Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tr3dom	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4565	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prex 5326	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		snex 5325	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
4		undjudom 9586	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6		pr2dom 39967	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7		djudom1 9601	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
8	6, 3, 7	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9		sn1dom 39966	. . . . . 6 ⊢ {𝐶} ≼ 1o
10		2on 8104	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
11		djudom2 9602	. . . . . 6 ⊢ (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13		domtr 8555	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15		1on 8102	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
16		onadju 9612	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
17	10, 15, 16	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
18	17	ensymi 8552	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19		oa1suc 8149	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) = suc 2o
21		df-3o 8097	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
22	20, 21	eqtr4i 2846	. . . . 5 ⊢ (2o +o 1o) = 3o
23	18, 22	breqtri 5084	. . . 4 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24		domentr 8561	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
25	14, 23, 24	mp2an 690	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26		domtr 8555	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
27	5, 25, 26	mp2an 690	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
28	1, 27	eqbrtri 5080	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3491   ∪ cun 3927  {csn 4560  {cpr 4562  {ctp 4564   class class class wbr 5059  Oncon0 6184  suc csuc 6186  (class class class)co 7149  1_oc1o 8088  2_oc2o 8089  3_oc3o 8090   +_o coa 8092   ≈ cen 8499   ≼ cdom 8500   ⊔ cdju 9320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-3o 8097  df-oadd 8099  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-dju 9323

This theorem is referenced by: (None)