Theorem tr3dom 43490

Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tr3dom	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4653	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prex 5452	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		snex 5451	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
4		undjudom 10237	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
5	2, 3, 4	mp2an 691	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6		pr2dom 43489	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7		djudom1 10252	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
8	6, 3, 7	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9		sn1dom 43488	. . . . . 6 ⊢ {𝐶} ≼ 1o
10		2on 8536	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
11		djudom2 10253	. . . . . 6 ⊢ (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13		domtr 9067	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15		1on 8534	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
16		onadju 10263	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
17	10, 15, 16	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
18	17	ensymi 9064	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19		oa1suc 8587	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) = suc 2o
21		df-3o 8524	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
22	20, 21	eqtr4i 2771	. . . . 5 ⊢ (2o +o 1o) = 3o
23	18, 22	breqtri 5191	. . . 4 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24		domentr 9073	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
25	14, 23, 24	mp2an 691	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26		domtr 9067	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
27	5, 25, 26	mp2an 691	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
28	1, 27	eqbrtri 5187	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652   class class class wbr 5166  Oncon0 6395  suc csuc 6397  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516  3_oc3o 8517   +_o coa 8519   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ⊔ cdju 9967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-3o 8524  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-dju 9970

This theorem is referenced by: (None)