Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tr3dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tr3dom 43518
Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
tr3dom {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom
StepHypRef Expression
1 df-tp 4636 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prex 5443 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3 snex 5442 . . . 4 {𝐶} ∈ V
4 undjudom 10206 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
52, 3, 4mp2an 692 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6 pr2dom 43517 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7 djudom1 10221 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
86, 3, 7mp2an 692 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9 sn1dom 43516 . . . . . 6 {𝐶} ≼ 1o
10 2on 8519 . . . . . 6 2o ∈ On
11 djudom2 10222 . . . . . 6 (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
129, 10, 11mp2an 692 . . . . 5 (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13 domtr 9046 . . . . 5 ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
148, 12, 13mp2an 692 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15 1on 8517 . . . . . . 7 1o ∈ On
16 onadju 10232 . . . . . . 7 ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
1710, 15, 16mp2an 692 . . . . . 6 (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
1817ensymi 9043 . . . . 5 (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19 oa1suc 8568 . . . . . . 7 (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
2010, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (2o +o 1o) = suc 2o
21 df-3o 8507 . . . . . 6 3o = suc 2o
2220, 21eqtr4i 2766 . . . . 5 (2o +o 1o) = 3o
2318, 22breqtri 5173 . . . 4 (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24 domentr 9052 . . . 4 ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
2514, 23, 24mp2an 692 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26 domtr 9046 . . 3 ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
275, 25, 26mp2an 692 . 2 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
281, 27eqbrtri 5169 1 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635   class class class wbr 5148  Oncon0 6386  suc csuc 6388  (class class class)co 7431  1oc1o 8498  2oc2o 8499  3oc3o 8500   +o coa 8502  cen 8981  cdom 8982  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-3o 8507  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-dju 9939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator