Theorem tr3dom 43541

Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tr3dom	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4631	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prex 5437	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		snex 5436	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
4		undjudom 10208	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6		pr2dom 43540	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7		djudom1 10223	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
8	6, 3, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9		sn1dom 43539	. . . . . 6 ⊢ {𝐶} ≼ 1o
10		2on 8520	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
11		djudom2 10224	. . . . . 6 ⊢ (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13		domtr 9047	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15		1on 8518	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
16		onadju 10234	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
17	10, 15, 16	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
18	17	ensymi 9044	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19		oa1suc 8569	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) = suc 2o
21		df-3o 8508	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
22	20, 21	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ (2o +o 1o) = 3o
23	18, 22	breqtri 5168	. . . 4 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24		domentr 9053	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
25	14, 23, 24	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26		domtr 9047	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
27	5, 25, 26	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
28	1, 27	eqbrtri 5164	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  {csn 4626  {cpr 4628  {ctp 4630   class class class wbr 5143  Oncon0 6384  suc csuc 6386  (class class class)co 7431  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500  3_oc3o 8501   +_o coa 8503   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ⊔ cdju 9938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-3o 8508  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-dju 9941

This theorem is referenced by: (None)