Theorem tr3dom 44145

Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tr3dom	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4599	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prex 5410	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		snex 5411	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
4		undjudom 10150	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6		pr2dom 44144	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7		djudom1 10165	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
8	6, 3, 7	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9		sn1dom 44143	. . . . . 6 ⊢ {𝐶} ≼ 1o
10		2on 8466	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
11		djudom2 10166	. . . . . 6 ⊢ (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13		domtr 9003	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15		1on 8465	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
16		onadju 10176	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
17	10, 15, 16	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
18	17	ensymi 9000	. . . . 5 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19		oa1suc 8515	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o +o 1o) = suc 2o
21		df-3o 8454	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
22	20, 21	eqtr4i 2795	. . . . 5 ⊢ (2o +o 1o) = 3o
23	18, 22	breqtri 5140	. . . 4 ⊢ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24		domentr 9009	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
25	14, 23, 24	mp2an 704	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26		domtr 9003	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
27	5, 25, 26	mp2an 704	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
28	1, 27	eqbrtri 5136	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598   class class class wbr 5113  Oncon0 6361  suc csuc 6363  (class class class)co 7411  1_oc1o 8445  2_oc2o 8446  3_oc3o 8447   +_o coa 8449   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940   ⊔ cdju 9883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-3o 8454  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-dju 9886

This theorem is referenced by: (None)