Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tr3dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tr3dom 41807
Description: An unordered triple is dominated by ordinal three. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
tr3dom {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o

Proof of Theorem tr3dom
StepHypRef Expression
1 df-tp 4592 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prex 5390 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3 snex 5389 . . . 4 {𝐶} ∈ V
4 undjudom 10104 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}))
52, 3, 4mp2an 691 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶})
6 pr2dom 41806 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ≼ 2o
7 djudom1 10119 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}))
86, 3, 7mp2an 691 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶})
9 sn1dom 41805 . . . . . 6 {𝐶} ≼ 1o
10 2on 8427 . . . . . 6 2o ∈ On
11 djudom2 10120 . . . . . 6 (({𝐶} ≼ 1o ∧ 2o ∈ On) → (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
129, 10, 11mp2an 691 . . . . 5 (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
13 domtr 8948 . . . . 5 ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ {𝐶}) ∧ (2o ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o))
148, 12, 13mp2an 691 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o)
15 1on 8425 . . . . . . 7 1o ∈ On
16 onadju 10130 . . . . . . 7 ((2o ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o))
1710, 15, 16mp2an 691 . . . . . 6 (2o +o 1o) ≈ (2o ⊔ 1o)
1817ensymi 8945 . . . . 5 (2o ⊔ 1o) ≈ (2o +o 1o)
19 oa1suc 8478 . . . . . . 7 (2o ∈ On → (2o +o 1o) = suc 2o)
2010, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (2o +o 1o) = suc 2o
21 df-3o 8415 . . . . . 6 3o = suc 2o
2220, 21eqtr4i 2768 . . . . 5 (2o +o 1o) = 3o
2318, 22breqtri 5131 . . . 4 (2o ⊔ 1o) ≈ 3o
24 domentr 8954 . . . 4 ((({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ (2o ⊔ 1o) ∧ (2o ⊔ 1o) ≈ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o)
2514, 23, 24mp2an 691 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o
26 domtr 8948 . . 3 ((({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ∧ ({𝐴, 𝐵} ⊔ {𝐶}) ≼ 3o) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o)
275, 25, 26mp2an 691 . 2 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ≼ 3o
281, 27eqbrtri 5127 1 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≼ 3o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3446  cun 3909  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591   class class class wbr 5106  Oncon0 6318  suc csuc 6320  (class class class)co 7358  1oc1o 8406  2oc2o 8407  3oc3o 8408   +o coa 8410  cen 8881  cdom 8882  cdju 9835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-3o 8415  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-dju 9838
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator