Theorem nfss 3975

Description: If 𝑥 is not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in 𝐴 ⊆ 𝐵. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfss2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
dfss2f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfss	⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem nfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		dfss2f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	dfss3f 3974	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
4		nfra1 3282	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵
5	3, 4	nfxfr 1856	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-v 3477  df-in 3956  df-ss 3966

This theorem is referenced by:  ssrexf  4049  nfpw  4622  ssiun2s  5052  triun  5281  iunopeqop  5522  ssopab2bw  5548  ssopab2b  5550  nffr  5651  nfrel  5780  nffun  6572  nff  6714  fvmptss  7011  ssoprab2b  7478  eqoprab2bw  7479  tfis  7844  ovmptss  8079  nffrecs  8268  nfwrecsOLD  8302  oawordeulem  8554  nnawordex  8637  r1val1  9781  cardaleph  10084  nfsum1  15636  nfsum  15637  nfcprod1  15854  nfcprod  15855  iunconn  22932  ovolfiniun  25018  ovoliunlem3  25021  ovoliun  25022  ovoliun2  25023  ovoliunnul  25024  limciun  25411  ssiun2sf  31791  ssrelf  31844  funimass4f  31861  fsumiunle  32035  prodindf  33021  esumiun  33092  bnj1408  34047  totbndbnd  36657  naddwordnexlem4  42152  ss2iundf  42410  iunconnlem2  43696  iinssdf  43828  rnmptssbi  43965  stoweidlem53  44769  stoweidlem57  44773  meaiunincf  45199  meaiuninc3  45201  opnvonmbllem2  45349  smflim  45493  nfsetrecs  47731  setrec2fun  47737