Theorem eqvreldisj1 39022

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. eqvreldisj2 39023, eqvreldisj3 39024). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 3-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj1	⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem eqvreldisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → EqvRel 𝑅)
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → 𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))
4	1, 2, 3	qsdisjALTV 38811	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
5	4	ralrimivva 3177	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ∩ cin 3898  ∅c0 4283   / cqs 8632   EqvRel weqvrel 38339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8635  df-qs 8639  df-refrel 38704  df-symrel 38736  df-trrel 38770  df-eqvrel 38781

This theorem is referenced by:  eqvreldisj2  39023