Theorem eqvreldisj1 38809

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. eqvreldisj2 38810, eqvreldisj3 38811). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 3-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj1	⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem eqvreldisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → EqvRel 𝑅)
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → 𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))
4	1, 2, 3	qsdisjALTV 38600	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
5	4	ralrimivva 3182	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046   ∩ cin 3921  ∅c0 4304   / cqs 8681   EqvRel weqvrel 38183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-br 5116  df-opab 5178  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-ec 8684  df-qs 8688  df-refrel 38497  df-symrel 38529  df-trrel 38559  df-eqvrel 38570

This theorem is referenced by:  eqvreldisj2  38810