Theorem eqvreldisj1 38220

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. eqvreldisj2 38221, eqvreldisj3 38222). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 3-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj1	⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem eqvreldisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → EqvRel 𝑅)
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → 𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))
4	1, 2, 3	qsdisjALTV 38011	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
5	4	ralrimivva 3195	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   ∩ cin 3943  ∅c0 4318   / cqs 8715   EqvRel weqvrel 37587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ec 8718  df-qs 8722  df-refrel 37908  df-symrel 37940  df-trrel 37970  df-eqvrel 37981

This theorem is referenced by:  eqvreldisj2  38221