Theorem eqvreldisj3 38222

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. qsdisj2 8803). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Jun-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj3	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Proof of Theorem eqvreldisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 38221	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))
2		df-eldisj 38103	. 2 ⊢ ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
3	1, 2	sylib 217	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   E cep 5575  ^◡ccnv 5671   ↾ cres 5674   / cqs 8715   EqvRel weqvrel 37587   Disj wdisjALTV 37604   ElDisj weldisj 37606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-eprel 5576  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ec 8718  df-qs 8722  df-coss 37807  df-refrel 37908  df-cnvrefrel 37923  df-symrel 37940  df-trrel 37970  df-eqvrel 37981  df-disjALTV 38101  df-eldisj 38103

This theorem is referenced by:  eqvreldisj4  38223  eqvreldisj5  38224  eqvrelqseqdisj3  38227