Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqvreldisj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqvreldisj3 38769
Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. qsdisj2 8828). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Jun-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
eqvreldisj3 ( EqvRel 𝑅 → Disj ( E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Proof of Theorem eqvreldisj3
StepHypRef Expression
1 eqvreldisj2 38768 . 2 ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))
2 df-eldisj 38650 . 2 ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ Disj ( E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
31, 2sylib 218 1 ( EqvRel 𝑅 → Disj ( E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   E cep 5581  ccnv 5682  cres 5685   / cqs 8737   EqvRel weqvrel 38139   Disj wdisjALTV 38156   ElDisj weldisj 38158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-eprel 5582  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-ec 8740  df-qs 8744  df-coss 38354  df-refrel 38455  df-cnvrefrel 38470  df-symrel 38487  df-trrel 38517  df-eqvrel 38528  df-disjALTV 38648  df-eldisj 38650
This theorem is referenced by:  eqvreldisj4  38770  eqvreldisj5  38771  eqvrelqseqdisj3  38774
  Copyright terms: Public domain W3C validator