Theorem eqvreldisj3 37046

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. qsdisj2 8615). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Jun-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj3	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Proof of Theorem eqvreldisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 37045	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))
2		df-eldisj 36927	. 2 ⊢ ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
3	1, 2	sylib 217	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   E cep 5505  ^◡ccnv 5599   ↾ cres 5602   / cqs 8528   EqvRel weqvrel 36404   Disj wdisjALTV 36421   ElDisj weldisj 36423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3339  df-rab 3341  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-eprel 5506  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ec 8531  df-qs 8535  df-coss 36631  df-refrel 36732  df-cnvrefrel 36747  df-symrel 36764  df-trrel 36794  df-eqvrel 36805  df-disjALTV 36925  df-eldisj 36927

This theorem is referenced by:  eqvreldisj4  37047  eqvreldisj5  37048  eqvrelqseqdisj3  37051