Theorem eqvreldisj3 40052

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. qsdisj2 8841). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Jun-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj3	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Proof of Theorem eqvreldisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 40051	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))
2		df-eldisj 39915	. 2 ⊢ ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
3	1, 2	sylib 221	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   E cep 5554  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   / cqs 8741   EqvRel weqvrel 39323   Disj wdisjALTV 39342   ElDisj weldisj 39344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8744  df-qs 8748  df-coss 39624  df-refrel 39715  df-cnvrefrel 39730  df-symrel 39747  df-trrel 39781  df-eqvrel 39792  df-disjALTV 39913  df-eldisj 39915

This theorem is used by:  eqvreldisj4  40053  eqvreldisj5  40054  eqvrelqseqdisj3  40068