Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqvreldisj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqvreldisj3 38163
Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. qsdisj2 8795). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Jun-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
eqvreldisj3 ( EqvRel 𝑅 → Disj ( E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Proof of Theorem eqvreldisj3
StepHypRef Expression
1 eqvreldisj2 38162 . 2 ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))
2 df-eldisj 38044 . 2 ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ Disj ( E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
31, 2sylib 217 1 ( EqvRel 𝑅 → Disj ( E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   E cep 5579  ccnv 5675  cres 5678   / cqs 8708   EqvRel weqvrel 37527   Disj wdisjALTV 37544   ElDisj weldisj 37546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ec 8711  df-qs 8715  df-coss 37748  df-refrel 37849  df-cnvrefrel 37864  df-symrel 37881  df-trrel 37911  df-eqvrel 37922  df-disjALTV 38042  df-eldisj 38044
This theorem is referenced by:  eqvreldisj4  38164  eqvreldisj5  38165  eqvrelqseqdisj3  38168
  Copyright terms: Public domain W3C validator