Theorem eqvreldisj3 39180

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. qsdisj2 8744). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Jun-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj3	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Proof of Theorem eqvreldisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 39179	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))
2		df-eldisj 39043	. 2 ⊢ ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
3	1, 2	sylib 218	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   E cep 5531  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   / cqs 8644   EqvRel weqvrel 38451   Disj wdisjALTV 38470   ElDisj weldisj 38472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-eprel 5532  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-coss 38752  df-refrel 38843  df-cnvrefrel 38858  df-symrel 38875  df-trrel 38909  df-eqvrel 38920  df-disjALTV 39041  df-eldisj 39043

This theorem is referenced by:  eqvreldisj4  39181  eqvreldisj5  39182  eqvrelqseqdisj3  39196