Theorem eqvreldisj3 39428

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. qsdisj2 8777). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Jun-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj3	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Proof of Theorem eqvreldisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj2 39427	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))
2		df-eldisj 39291	. 2 ⊢ ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))
3	1, 2	sylib 220	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐴 / 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   E cep 5546  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   / cqs 8677   EqvRel weqvrel 38699   Disj wdisjALTV 38718   ElDisj weldisj 38720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-eprel 5547  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ec 8680  df-qs 8684  df-coss 39000  df-refrel 39091  df-cnvrefrel 39106  df-symrel 39123  df-trrel 39157  df-eqvrel 39168  df-disjALTV 39289  df-eldisj 39291

This theorem is referenced by:  eqvreldisj4  39429  eqvreldisj5  39430  eqvrelqseqdisj3  39444