Theorem eqvreldisj2 39618

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. eqvreldisj3 39619). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj2	⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem eqvreldisj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj1 39617	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
2		dfeldisj5 39503	. 2 ⊢ ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∀wral 3082   ∩ cin 3907  ∅c0 4289   / cqs 8702   EqvRel weqvrel 38890   ElDisj weldisj 38911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-eprel 5566  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ec 8705  df-qs 8709  df-coss 39191  df-refrel 39282  df-cnvrefrel 39297  df-symrel 39314  df-trrel 39348  df-eqvrel 39359  df-disjALTV 39480  df-eldisj 39482

This theorem is used by:  eqvreldisj3  39619  eqvrelqseqdisj2  39622