Theorem eqvreldisj2 39240

Description: The elements of the quotient set of an equivalence relation are disjoint (cf. eqvreldisj3 39241). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Revised by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj2	⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem eqvreldisj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj1 39239	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
2		dfeldisj5 39125	. 2 ⊢ ( ElDisj (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 / 𝑅)∀𝑦 ∈ (𝐴 / 𝑅)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → ElDisj (𝐴 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∀wral 3052   ∩ cin 3889  ∅c0 4274   / cqs 8633   EqvRel weqvrel 38512   ElDisj weldisj 38533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5517  df-eprel 5522  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8636  df-qs 8640  df-coss 38813  df-refrel 38904  df-cnvrefrel 38919  df-symrel 38936  df-trrel 38970  df-eqvrel 38981  df-disjALTV 39102  df-eldisj 39104

This theorem is referenced by:  eqvreldisj3  39241  eqvrelqseqdisj2  39244