Theorem ffvbr 49849

Description: Relation with function value. (Contributed by Zhi Wang, 25-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ffvbr	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem ffvbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffund 6710	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4	1	fdmd 6716	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funfvbrb 7046	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋)))
7	6	biimpa 482	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))
8	2, 5, 7	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  Fun wfun 6529  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-fv 6543

This theorem is used by:  xpco2  49850