Theorem ffvbr 49331

Description: Relation with function value. (Contributed by Zhi Wang, 25-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ffvbr	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem ffvbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffund 6672	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4	1	fdmd 6678	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrrd 2839	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funfvbrb 7003	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋)))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))
8	2, 5, 7	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  xpco2  49332