Theorem ffvbr 49482

Description: Relation with function value. (Contributed by Zhi Wang, 25-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ffvbr	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem ffvbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffund 6698	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4	1	fdmd 6704	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrrd 2867	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funfvbrb 7034	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋)))
7	6	biimpa 480	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))
8	2, 5, 7	syl2anc 593	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5649  Fun wfun 6517  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531

This theorem is referenced by:  xpco2  49483