Theorem ffvbr 49347

Description: Relation with function value. (Contributed by Zhi Wang, 25-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ffvbr	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem ffvbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffund 6668	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4	1	fdmd 6674	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funfvbrb 6999	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋)))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))
8	2, 5, 7	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  Fun wfun 6488  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502

This theorem is referenced by:  xpco2  49348