Theorem ffvbr 49556

Description: Relation with function value. (Contributed by Zhi Wang, 25-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ffvbr	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem ffvbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffund 6713	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4	1	fdmd 6719	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrrd 2872	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funfvbrb 7049	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋)))
7	6	biimpa 481	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))
8	2, 5, 7	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐹(𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  dom cdm 5664  Fun wfun 6533  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547

This theorem is referenced by:  xpco2  49557