Theorem funfvbrb 7052

Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 7051	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		df-br 5149	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylibr 233	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4		funrel 6565	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		releldm 5943	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6	4, 5	sylan 579	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
7	3, 6	impbida 798	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  fmptco  7129  fpwwe2lem12  10643  fpwwe2  10644  climdm  15505  invco  17725  ffthiso  17889  fuciso  17938  setciso  18051  catciso  18071  rngciso  20530  ringciso  20564  lmcau  25160  dvcnp  25767  dvadd  25790  dvmul  25791  dvaddf  25792  dvmulf  25793  dvco  25798  dvcof  25799  dvcjbr  25800  dvcnvlem  25827  dvferm1  25836  dvferm2  25838  ulmdm  26243  ulmdvlem3  26252  minvecolem4a  30562  hlimf  30922  hhsscms  30963  occllem  30988  occl  30989  chscllem4  31325  fmptcof2  32314  heiborlem9  37150  bfplem1  37153  iscard4  42746  xlimdm  45031  rngcisoALTV  47113  ringcisoALTV  47147