Theorem funfvbrb 6595

Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 6594	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		df-br 4889	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylibr 226	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4		funrel 6154	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		releldm 5606	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6	4, 5	sylan 575	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
7	3, 6	impbida 791	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  dom cdm 5357  Rel wrel 5362  Fun wfun 6131  ‘cfv 6137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-fv 6145

This theorem is referenced by:  fmptco  6663  fpwwe2lem13  9801  fpwwe2  9802  climdm  14697  invco  16820  ffthiso  16978  fuciso  17024  setciso  17130  catciso  17146  lmcau  23523  dvcnp  24123  dvadd  24144  dvmul  24145  dvaddf  24146  dvmulf  24147  dvco  24151  dvcof  24152  dvcjbr  24153  dvcnvlem  24180  dvferm1  24189  dvferm2  24191  ulmdm  24588  ulmdvlem3  24597  minvecolem4a  28309  hlimf  28670  hhsscms  28712  occllem  28738  occl  28739  chscllem4  29075  fmptcof2  30026  heiborlem9  34247  bfplem1  34250  xlimdm  41007  rngciso  43007  rngcisoALTV  43019  ringciso  43058  ringcisoALTV  43082