MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvbrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvbrb 6810
Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 6809 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2 df-br 5054 . . 3 (𝐴𝐹(𝐹𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
31, 2sylibr 237 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹𝐴))
4 funrel 6361 . . 3 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5 releldm 5802 . . 3 ((Rel 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
64, 5sylan 583 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
73, 6impbida 800 1 (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115  cop 4556   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  Rel wrel 5548  Fun wfun 6338  cfv 6344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-fv 6352
This theorem is referenced by:  fmptco  6880  fpwwe2lem13  10058  fpwwe2  10059  climdm  14909  invco  17039  ffthiso  17197  fuciso  17243  setciso  17349  catciso  17365  lmcau  23915  dvcnp  24520  dvadd  24541  dvmul  24542  dvaddf  24543  dvmulf  24544  dvco  24548  dvcof  24549  dvcjbr  24550  dvcnvlem  24577  dvferm1  24586  dvferm2  24588  ulmdm  24986  ulmdvlem3  24995  minvecolem4a  28658  hlimf  29018  hhsscms  29059  occllem  29084  occl  29085  chscllem4  29421  fmptcof2  30408  heiborlem9  35169  bfplem1  35172  iscard4  40097  xlimdm  42365  rngciso  44472  rngcisoALTV  44484  ringciso  44523  ringcisoALTV  44547
  Copyright terms: Public domain W3C validator