Theorem funfvbrb 7050

Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 7049	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		df-br 5112	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylibr 237	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4		funrel 6557	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		releldm 5936	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6	4, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
7	3, 6	impbida 813	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  Rel wrel 5668  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548

This theorem is used by:  fmptco  7129  fpwwe2lem12  10644  fpwwe2  10645  climdm  15631  invco  17852  ffthiso  18012  fuciso  18059  setciso  18172  catciso  18192  rngciso  20789  ringciso  20823  lmcau  25525  dvcnp  26131  dvadd  26152  dvmul  26153  dvaddf  26154  dvmulf  26155  dvco  26159  dvcof  26160  dvcjbr  26161  dvcnvlem  26188  dvferm1  26197  dvferm2  26199  ulmdm  26609  ulmdvlem3  26618  minvecolem4a  31302  hlimf  31662  hhsscms  31703  occllem  31728  occl  31729  chscllem4  32065  fmptcof2  33075  heiborlem9  38530  bfplem1  38533  iscard4  44319  xlimdm  46631  rngcisoALTV  49101  ringcisoALTV  49135  ffvbr  49693