Theorem funfvbrb 7055

Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 7054	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		df-br 5103	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylibr 237	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4		funrel 6561	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		releldm 5927	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6	4, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
7	3, 6	impbida 813	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  dom cdm 5651  Rel wrel 5656  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551

This theorem is used by:  fmptco  7135  fpwwe2lem12  10734  fpwwe2  10735  climdm  15730  invco  17955  ffthiso  18115  fuciso  18162  setciso  18275  catciso  18295  rngciso  20899  ringciso  20933  lmcau  25643  dvcnp  26248  dvadd  26269  dvmul  26270  dvaddf  26271  dvmulf  26272  dvco  26276  dvcof  26277  dvcjbr  26278  dvcnvlem  26305  dvferm1  26314  dvferm2  26316  ulmdm  26729  ulmdvlem3  26738  minvecolem4a  31488  hlimf  31848  hhsscms  31889  occllem  31914  occl  31915  chscllem4  32251  fmptcof2  33302  heiborlem9  38890  bfplem1  38893  iscard4  44671  xlimdm  47003  rngcisoALTV  49510  ringcisoALTV  49544  ffvbr  50103