Theorem funfvbrb 7032

Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 7031	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		df-br 5101	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylibr 236	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4		funrel 6538	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		releldm 5920	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6	4, 5	sylan 589	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
7	3, 6	impbida 810	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  Rel wrel 5652  Fun wfun 6515  ‘cfv 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-fv 6529

This theorem is referenced by:  fmptco  7111  fpwwe2lem12  10600  fpwwe2  10601  climdm  15581  invco  17804  ffthiso  17964  fuciso  18011  setciso  18124  catciso  18144  rngciso  20688  ringciso  20722  lmcau  25375  dvcnp  25981  dvadd  26002  dvmul  26003  dvaddf  26004  dvmulf  26005  dvco  26009  dvcof  26010  dvcjbr  26011  dvcnvlem  26038  dvferm1  26047  dvferm2  26049  ulmdm  26456  ulmdvlem3  26465  minvecolem4a  31080  hlimf  31440  hhsscms  31481  occllem  31506  occl  31507  chscllem4  31843  fmptcof2  32859  heiborlem9  38318  bfplem1  38321  iscard4  44109  xlimdm  46431  rngcisoALTV  48899  ringcisoALTV  48933  ffvbr  49477