Theorem funfvbrb 6937

Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 6936	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		df-br 5076	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylibr 233	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4		funrel 6458	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		releldm 5856	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6	4, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
7	3, 6	impbida 798	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4568   class class class wbr 5075  dom cdm 5590  Rel wrel 5595  Fun wfun 6431  ‘cfv 6437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-fv 6445

This theorem is referenced by:  fmptco  7010  fpwwe2lem12  10407  fpwwe2  10408  climdm  15272  invco  17492  ffthiso  17654  fuciso  17702  setciso  17815  catciso  17835  lmcau  24486  dvcnp  25092  dvadd  25113  dvmul  25114  dvaddf  25115  dvmulf  25116  dvco  25120  dvcof  25121  dvcjbr  25122  dvcnvlem  25149  dvferm1  25158  dvferm2  25160  ulmdm  25561  ulmdvlem3  25570  minvecolem4a  29248  hlimf  29608  hhsscms  29649  occllem  29674  occl  29675  chscllem4  30011  fmptcof2  31003  heiborlem9  35986  bfplem1  35989  iscard4  41147  xlimdm  43405  rngciso  45551  rngcisoALTV  45563  ringciso  45602  ringcisoALTV  45626