Theorem map0cor 49909

Description: A function exists iff an empty codomain is accompanied with an empty domain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0cor.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
map0cor.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
map0cor	⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem map0cor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0cor.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		map0cor.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		biid 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
4	3	necon2bbii 3007	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
5	4	imbi2i 339	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ (𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅))
6		imnan 405	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8		map0g 8896	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
9	8	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
10	7, 9	bitr4id 293	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅))
11		neq0 4299	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
13		elmapg 8843	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
14	13	exbidv 1954	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
15	10, 12, 14	3bitrd 308	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
16	1, 2, 15	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  ⟶wf 6527  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8833

This theorem is used by: (None)