Theorem map0cor 50059

Description: A function exists iff an empty codomain is accompanied with an empty domain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0cor.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
map0cor.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
map0cor	⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem map0cor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0cor.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		map0cor.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		biid 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
4	3	necon2bbii 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
5	4	imbi2i 339	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ (𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅))
6		imnan 405	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8		map0g 8915	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
9	8	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
10	7, 9	bitr4id 293	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅))
11		neq0 4298	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
13		elmapg 8862	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
14	13	exbidv 1953	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
15	10, 12, 14	3bitrd 308	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
16	1, 2, 15	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852

This theorem is used by: (None)