Theorem map0cor 46222

Description: A function exists iff an empty codomain is accompanied with an empty domain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0cor.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
map0cor.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
map0cor	⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem map0cor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0cor.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		map0cor.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		biid 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
4	3	necon2bbii 2990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
5	4	imbi2i 335	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ (𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅))
6		imnan 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8		map0g 8692	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
9	8	notbid 317	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
10	7, 9	bitr4id 289	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅))
11		neq0 4282	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
13		elmapg 8648	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
14	13	exbidv 1920	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
15	10, 12, 14	3bitrd 304	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
16	1, 2, 15	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938  ∅c0 4259  ⟶wf 6443  (class class class)co 7295   ↑_m cmap 8635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-map 8637

This theorem is referenced by: (None)