Theorem map0cor 48979

Description: A function exists iff an empty codomain is accompanied with an empty domain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0cor.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
map0cor.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
map0cor	⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem map0cor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0cor.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		map0cor.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		biid 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
4	3	necon2bbii 2980	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
5	4	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ (𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅))
6		imnan 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8		map0g 8814	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
9	8	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ¬ (𝐵 = ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
10	7, 9	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅))
11		neq0 4301	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
13		elmapg 8769	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
14	13	exbidv 1922	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
15	10, 12, 14	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))
16	1, 2, 15	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  ⟶wf 6482  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-map 8758

This theorem is referenced by: (None)