Theorem fppr 48214

Description: The set of Fermat pseudoprimes to the base 𝑁. (Contributed by AV, 29-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fppr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fppr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑(𝑥 − 1)) = (𝑁↑(𝑥 − 1)))
2	1	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1) = ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))
3	2	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1) ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
4	3	anbi2d 631	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1)) ↔ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))))
5	4	rabbidv 3397	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1))} = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})
6		df-fppr 48213	. 2 ⊢ FPPr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1))})
7		fvex 6847	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘4) ∈ V
8	7	rabex 5276	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))} ∈ V
9	5, 6, 8	fvmpt 6941	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  {crab 3390   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   − cmin 11368  ℕcn 12165  4c4 12229  ℤ_≥cuz 12779  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631   FPPr cfppr 48212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-fppr 48213

This theorem is referenced by:  fpprmod  48215