Theorem fppr 47651

Description: The set of Fermat pseudoprimes to the base 𝑁. (Contributed by AV, 29-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fppr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fppr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑(𝑥 − 1)) = (𝑁↑(𝑥 − 1)))
2	1	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1) = ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))
3	2	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1) ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
4	3	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1)) ↔ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))))
5	4	rabbidv 3441	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1))} = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})
6		df-fppr 47650	. 2 ⊢ FPPr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑛↑(𝑥 − 1)) − 1))})
7		fvex 6920	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘4) ∈ V
8	7	rabex 5345	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))} ∈ V
9	5, 6, 8	fvmpt 7016	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  {crab 3433   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   − cmin 11490  ℕcn 12264  4c4 12321  ℤ_≥cuz 12876  ↑cexp 14099   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705   FPPr cfppr 47649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-fppr 47650

This theorem is referenced by:  fpprmod  47652