Theorem fpprmod 49040

Description: The set of Fermat pseudoprimes to the base 𝑁, expressed by a modulo operation instead of the divisibility relation. (Contributed by AV, 30-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprmod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fpprmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fppr 49039	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})
2		uzuzle24 13042	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
3		nnz 12744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluz4nn 13047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑥 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ)
9		modm1div 16466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
10	2, 8, 9	syl2an2 699	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
11	10	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1) ↔ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1))
12	11	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)) ↔ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)))
13	12	rabbidva 3422	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))} = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})
14	1, 13	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  {crab 3416   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1c1 11231   − cmin 11571  ℕcn 12365  2c2 12427  4c4 12429  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995   mod cmo 14039  ↑cexp 14234   ∥ cdvds 16454  ℙcprime 16878   FPPr cfppr 49037

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-dvds 16455  df-fppr 49038

This theorem is used by:  fpprel  49041