Theorem fpprmod 47757

Description: The set of Fermat pseudoprimes to the base 𝑁, expressed by a modulo operation instead of the divisibility relation. (Contributed by AV, 30-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprmod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fpprmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fppr 47756	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})
2		uzuzle24 12780	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
3		nnz 12486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluz4nn 12785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑥 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 13980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ)
9		modm1div 16172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
10	2, 8, 9	syl2an2 686	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
11	10	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1) ↔ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1))
12	11	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)) ↔ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)))
13	12	rabbidva 3401	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))} = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})
14	1, 13	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  {crab 3395   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11004   − cmin 11341  ℕcn 12122  2c2 12177  4c4 12179  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729   mod cmo 13770  ↑cexp 13965   ∥ cdvds 16160  ℙcprime 16579   FPPr cfppr 47754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-dvds 16161  df-fppr 47755

This theorem is referenced by:  fpprel  47758