Theorem fpprmod 48919

Description: The set of Fermat pseudoprimes to the base 𝑁, expressed by a modulo operation instead of the divisibility relation. (Contributed by AV, 30-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprmod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fpprmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fppr 48918	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))})
2		uzuzle24 13016	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
3		nnz 12718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluz4nn 13021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑥 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ)
9		modm1div 16440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑥 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
10	2, 8, 9	syl2an2 699	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)))
11	10	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1) ↔ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1))
12	11	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1)) ↔ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)))
13	12	rabbidva 3418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ 𝑥 ∥ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) − 1))} = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})
14	1, 13	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( FPPr ‘𝑁) = {𝑥 ∈ (ℤ≥‘4) ∣ (𝑥 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑥 − 1)) mod 𝑥) = 1)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11205   − cmin 11545  ℕcn 12339  2c2 12401  4c4 12403  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969   mod cmo 14013  ↑cexp 14208   ∥ cdvds 16428  ℙcprime 16852   FPPr cfppr 48916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-dvds 16429  df-fppr 48917

This theorem is used by:  fpprel  48920