Theorem fvpr2OLD 7189

Description: Obsolete version of fvpr2 7188 as of 26-Sep-2024. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr2.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fvpr2.2	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr2OLD	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4731	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2	1	fveq1i 6885	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵)
3		necom 2988	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvpr2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		fvpr2.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	fvpr1 7186	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
7	3, 6	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
8	2, 7	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468  {cpr 4625  ⟨cop 4629  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544

This theorem is referenced by: (None)