MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr2 6827
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr2.1 𝐵 ∈ V
fvpr2.2 𝐷 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fvpr2 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2
StepHypRef Expression
1 prcom 4581 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
21fveq1i 6546 . 2 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵)
3 necom 3039 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvpr2.1 . . . 4 𝐵 ∈ V
5 fvpr2.2 . . . 4 𝐷 ∈ V
64, 5fvpr1 6826 . . 3 (𝐵𝐴 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
73, 6sylbi 218 . 2 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
82, 7syl5eq 2845 1 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  Vcvv 3440  {cpr 4480  cop 4484  cfv 6232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-res 5462  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fv 6240
This theorem is referenced by:  fprb  6830  fnprb  6844  m2detleiblem3  20926  m2detleiblem4  20927  axlowdimlem6  26420  umgr2v2evd2  26996  ex-fv  27910  nnsum3primes4  43457  nnsum3primesgbe  43461  zlmodzxzldeplem3  44059  prelrrx2b  44204  rrx2plordisom  44213  ehl2eudisval0  44215  itscnhlinecirc02p  44275
  Copyright terms: Public domain W3C validator