Theorem fvpr2 7127

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by BJ, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr2.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fvpr2.2	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvpr2.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fvpr2.2	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ V
3		fvpr2g 7125	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
4	1, 2, 3	mp3an12 1453	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  {cpr 4575  ⟨cop 4579  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-res 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  fprb  7128  fnprb  7142  m2detleiblem3  22544  m2detleiblem4  22545  axlowdimlem6  28925  umgr2v2evd2  29506  ex-fv  30423  bj-endcomp  37361  nnsum3primes4  47898  nnsum3primesgbe  47902  zlmodzxzldeplem3  48613  2arymaptfo  48765  prelrrx2b  48825  rrx2plordisom  48834  ehl2eudisval0  48836  itscnhlinecirc02p  48896