Theorem fvpr2 6955

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr2.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fvpr2.2	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4670	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2	1	fveq1i 6673	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵)
3		necom 3071	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvpr2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		fvpr2.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	fvpr1 6954	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
7	3, 6	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
8	2, 7	syl5eq 2870	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496  {cpr 4571  ⟨cop 4575  ‘cfv 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-res 5569  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365

This theorem is referenced by:  fprb  6958  fnprb  6973  m2detleiblem3  21240  m2detleiblem4  21241  axlowdimlem6  26735  umgr2v2evd2  27311  ex-fv  28224  bj-endcomp  34600  nnsum3primes4  43960  nnsum3primesgbe  43964  zlmodzxzldeplem3  44564  prelrrx2b  44708  rrx2plordisom  44717  ehl2eudisval0  44719  itscnhlinecirc02p  44779