Theorem fvpr1 7196

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by BJ, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvpr1.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvpr1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvpr1.2	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		fvpr1g 7194	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
4	1, 2, 3	mp3an12 1480	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548

This theorem is used by:  fprb  7198  fvtp1  7199  fnprb  7213  m2detleiblem3  22836  m2detleiblem4  22837  axlowdimlem6  29352  umgr2v2evd2  29935  bj-endbase  38017  poimirlem22  38350  nnsum3primes4  48611  nnsum3primesgbe  48615  zlmodzxzldeplem3  49339  zlmodzxzldeplem4  49340  2arymaptfo  49491  prelrrx2b  49551  rrx2plordisom  49560  ehl2eudisval0  49562  line2  49589  itscnhlinecirc02p  49622