Theorem fvpr1 7138

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by BJ, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvpr1.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvpr1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvpr1.2	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		fvpr1g 7136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
4	1, 2, 3	mp3an12 1453	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440  {cpr 4582  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fprb  7140  fvtp1  7141  fnprb  7154  m2detleiblem3  22573  m2detleiblem4  22574  axlowdimlem6  29020  umgr2v2evd2  29601  bj-endbase  37521  poimirlem22  37843  nnsum3primes4  48034  nnsum3primesgbe  48038  zlmodzxzldeplem3  48748  zlmodzxzldeplem4  48749  2arymaptfo  48900  prelrrx2b  48960  rrx2plordisom  48969  ehl2eudisval0  48971  line2  48998  itscnhlinecirc02p  49031