Theorem fvpr1 7197

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by BJ, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvpr1.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvpr1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvpr1.2	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		fvpr1g 7195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
4	1, 2, 3	mp3an12 1480	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is used by:  fprb  7199  fvtp1  7200  fnprb  7214  m2detleiblem3  22944  m2detleiblem4  22945  axlowdimlem6  29525  umgr2v2evd2  30108  bj-endbase  38280  poimirlem22  38603  nnsum3primes4  48929  nnsum3primesgbe  48933  zlmodzxzldeplem3  49657  zlmodzxzldeplem4  49658  2arymaptfo  49809  prelrrx2b  49869  rrx2plordisom  49878  ehl2eudisval0  49880  line2  49907  itscnhlinecirc02p  49940