MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr1 6934
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr1.1 𝐴 ∈ V
fvpr1.2 𝐶 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fvpr1 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1
StepHypRef Expression
1 df-pr 4542 . . . 4 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21fveq1i 6653 . . 3 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴)
3 necom 3064 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvunsn 6923 . . . 4 (𝐵𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
53, 4sylbi 220 . . 3 (𝐴𝐵 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
62, 5syl5eq 2869 . 2 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
7 fvpr1.1 . . 3 𝐴 ∈ V
8 fvpr1.2 . . 3 𝐶 ∈ V
97, 8fvsn 6925 . 2 ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶
106, 9syl6eq 2873 1 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  Vcvv 3469  cun 3906  {csn 4539  {cpr 4541  cop 4545  cfv 6334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-res 5544  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fv 6342
This theorem is referenced by:  fvpr2  6935  fprb  6938  fvtp1  6939  fnprb  6953  m2detleiblem3  21232  m2detleiblem4  21233  axlowdimlem6  26739  umgr2v2evd2  27315  bj-endbase  34691  poimirlem22  35038  nnsum3primes4  44246  nnsum3primesgbe  44250  zlmodzxzldeplem3  44851  zlmodzxzldeplem4  44852  2arymaptfo  45008  prelrrx2b  45068  rrx2plordisom  45077  ehl2eudisval0  45079  line2  45106  itscnhlinecirc02p  45139
  Copyright terms: Public domain W3C validator