MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs 18198
Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
isdrs.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
isdrs (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯, ≀ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs
Dummy variables 𝑓 𝑏 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘“) = (Baseβ€˜πΎ))
2 isdrs.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
31, 2eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘“) = 𝐡)
4 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘“) = (leβ€˜πΎ))
5 isdrs.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
64, 5eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘“) = ≀ )
76sbceq1d 3748 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 β†’ ([(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ [ ≀ / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§))))
83, 7sbceqbid 3750 . . . 4 (𝑓 = 𝐾 β†’ ([(Baseβ€˜π‘“) / 𝑏][(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ [𝐡 / 𝑏][ ≀ / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§))))
92fvexi 6860 . . . . 5 𝐡 ∈ V
105fvexi 6860 . . . . 5 ≀ ∈ V
11 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑏 β‰  βˆ… ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
1211adantr 482 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐡 ∧ π‘Ÿ = ≀ ) β†’ (𝑏 β‰  βˆ… ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
13 rexeq 3309 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)))
1413raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)))
1514raleqbi1dv 3306 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)))
16 breq 5111 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ↔ π‘₯ ≀ 𝑧))
17 breq 5111 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (π‘¦π‘Ÿπ‘§ ↔ 𝑦 ≀ 𝑧))
1816, 17anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = ≀ β†’ ((π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
1918rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
20192ralbidv 3209 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
2115, 20sylan9bb 511 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐡 ∧ π‘Ÿ = ≀ ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
2212, 21anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑏 = 𝐡 ∧ π‘Ÿ = ≀ ) β†’ ((𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
239, 10, 22sbc2ie 3826 . . . 4 ([𝐡 / 𝑏][ ≀ / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
248, 23bitrdi 287 . . 3 (𝑓 = 𝐾 β†’ ([(Baseβ€˜π‘“) / 𝑏][(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
25 df-drs 18193 . . 3 Dirset = {𝑓 ∈ Proset ∣ [(Baseβ€˜π‘“) / 𝑏][(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§))}
2624, 25elrab2 3652 . 2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
27 3anass 1096 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
2826, 27bitr4i 278 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  [wsbc 3743  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  lecple 17148   Proset cproset 18190  Dirsetcdrs 18191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5267
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-drs 18193
This theorem is referenced by:  drsdir  18199  drsprs  18200  drsbn0  18201  isdrs2  18203  isipodrs  18434
  Copyright terms: Public domain W3C validator