MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs 17249
Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isdrs.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isdrs (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (Base‘𝑓) = (Base‘𝐾))
2 isdrs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2syl6eqr 2851 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → (Base‘𝑓) = 𝐵)
4 fveq2 6411 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐾 → (le‘𝑓) = (le‘𝐾))
5 isdrs.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
64, 5syl6eqr 2851 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (le‘𝑓) = )
76sbceq1d 3638 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → ([(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ [ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))))
83, 7sbceqbid 3640 . . . 4 (𝑓 = 𝐾 → ([(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ [𝐵 / 𝑏][ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))))
92fvexi 6425 . . . . 5 𝐵 ∈ V
105fvexi 6425 . . . . 5 ∈ V
11 neeq1 3033 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1211adantr 473 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
13 rexeq 3322 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
1413raleqbi1dv 3329 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
1514raleqbi1dv 3329 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
16 breq 4845 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = → (𝑥𝑟𝑧𝑥 𝑧))
17 breq 4845 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = → (𝑦𝑟𝑧𝑦 𝑧))
1816, 17anbi12d 625 . . . . . . . . 9 (𝑟 = → ((𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
1918rexbidv 3233 . . . . . . . 8 (𝑟 = → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
20192ralbidv 3170 . . . . . . 7 (𝑟 = → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
2115, 20sylan9bb 506 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → (∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
2212, 21anbi12d 625 . . . . 5 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
239, 10, 22sbc2ie 3701 . . . 4 ([𝐵 / 𝑏][ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
248, 23syl6bb 279 . . 3 (𝑓 = 𝐾 → ([(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
25 df-drs 17244 . . 3 Dirset = {𝑓 ∈ Proset ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))}
2624, 25elrab2 3560 . 2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
27 3anass 1117 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)) ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
2826, 27bitr4i 270 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  [wsbc 3633  c0 4115   class class class wbr 4843  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274   Proset cproset 17241  Dirsetcdrs 17242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-nul 4983
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-iota 6064  df-fv 6109  df-drs 17244
This theorem is referenced by:  drsdir  17250  drsprs  17251  drsbn0  17252  isdrs2  17254  isipodrs  17476
  Copyright terms: Public domain W3C validator