MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs 18253
Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
isdrs.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
isdrs (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯, ≀ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs
Dummy variables 𝑓 𝑏 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘“) = (Baseβ€˜πΎ))
2 isdrs.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
31, 2eqtr4di 2790 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘“) = 𝐡)
4 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘“) = (leβ€˜πΎ))
5 isdrs.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
64, 5eqtr4di 2790 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘“) = ≀ )
76sbceq1d 3782 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 β†’ ([(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ [ ≀ / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§))))
83, 7sbceqbid 3784 . . . 4 (𝑓 = 𝐾 β†’ ([(Baseβ€˜π‘“) / 𝑏][(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ [𝐡 / 𝑏][ ≀ / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§))))
92fvexi 6905 . . . . 5 𝐡 ∈ V
105fvexi 6905 . . . . 5 ≀ ∈ V
11 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑏 β‰  βˆ… ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
1211adantr 481 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐡 ∧ π‘Ÿ = ≀ ) β†’ (𝑏 β‰  βˆ… ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
13 rexeq 3321 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)))
1413raleqbi1dv 3333 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)))
1514raleqbi1dv 3333 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)))
16 breq 5150 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ↔ π‘₯ ≀ 𝑧))
17 breq 5150 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (π‘¦π‘Ÿπ‘§ ↔ 𝑦 ≀ 𝑧))
1816, 17anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = ≀ β†’ ((π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
1918rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
20192ralbidv 3218 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
2115, 20sylan9bb 510 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐡 ∧ π‘Ÿ = ≀ ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
2212, 21anbi12d 631 . . . . 5 ((𝑏 = 𝐡 ∧ π‘Ÿ = ≀ ) β†’ ((𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
239, 10, 22sbc2ie 3860 . . . 4 ([𝐡 / 𝑏][ ≀ / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
248, 23bitrdi 286 . . 3 (𝑓 = 𝐾 β†’ ([(Baseβ€˜π‘“) / 𝑏][(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§)) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
25 df-drs 18248 . . 3 Dirset = {𝑓 ∈ Proset ∣ [(Baseβ€˜π‘“) / 𝑏][(leβ€˜π‘“) / π‘Ÿ](𝑏 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (π‘₯π‘Ÿπ‘§ ∧ π‘¦π‘Ÿπ‘§))}
2624, 25elrab2 3686 . 2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
27 3anass 1095 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧))))
2826, 27bitr4i 277 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  [wsbc 3777  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203   Proset cproset 18245  Dirsetcdrs 18246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-drs 18248
This theorem is referenced by:  drsdir  18254  drsprs  18255  drsbn0  18256  isdrs2  18258  isipodrs  18489
  Copyright terms: Public domain W3C validator