MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs 18359
Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isdrs.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isdrs (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (Base‘𝑓) = (Base‘𝐾))
2 isdrs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2eqtr4di 2793 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → (Base‘𝑓) = 𝐵)
4 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐾 → (le‘𝑓) = (le‘𝐾))
5 isdrs.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
64, 5eqtr4di 2793 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (le‘𝑓) = )
76sbceq1d 3796 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → ([(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ [ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))))
83, 7sbceqbid 3798 . . . 4 (𝑓 = 𝐾 → ([(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ [𝐵 / 𝑏][ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))))
92fvexi 6921 . . . . 5 𝐵 ∈ V
105fvexi 6921 . . . . 5 ∈ V
11 neeq1 3001 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
13 rexeq 3320 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
1413raleqbi1dv 3336 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
1514raleqbi1dv 3336 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
16 breq 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = → (𝑥𝑟𝑧𝑥 𝑧))
17 breq 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = → (𝑦𝑟𝑧𝑦 𝑧))
1816, 17anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑟 = → ((𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
1918rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑟 = → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
20192ralbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑟 = → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
2115, 20sylan9bb 509 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → (∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
2212, 21anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
239, 10, 22sbc2ie 3874 . . . 4 ([𝐵 / 𝑏][ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
248, 23bitrdi 287 . . 3 (𝑓 = 𝐾 → ([(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
25 df-drs 18353 . . 3 Dirset = {𝑓 ∈ Proset ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))}
2624, 25elrab2 3698 . 2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
27 3anass 1094 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)) ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
2826, 27bitr4i 278 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  [wsbc 3791  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305   Proset cproset 18350  Dirsetcdrs 18351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-drs 18353
This theorem is referenced by:  drsdir  18360  drsprs  18361  drsbn0  18362  isdrs2  18364  isipodrs  18595
  Copyright terms: Public domain W3C validator