Theorem isdrs2 18241

Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isdrs2	⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drsprs 18238	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
2		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3		elinel1 4191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
4	3	elpwid 4605	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
6		elinel2 4192	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
8		drsbn0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		drsdirfi.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	8, 9	drsdirfi 18240	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
11	2, 5, 7, 10	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
12	11	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
13	1, 12	jca 512	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))
14		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Proset )
15		0elpw 5347	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵
16		0fin 9154	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	15, 16	elini 4189	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
18		raleq 3321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
19	18	rexbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
20	19	rspcv 3605	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
22		rexn0 4504	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
24	23	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
25		raleq 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
27		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
28		prelpwi 5440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29		prfi 9305	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
31	28, 30	elind 4190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
32	31	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
33	26, 27, 32	rspcdva 3610	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦)
34		vex 3477	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
35		vex 3477	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
36		breq1 5144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑎 ≤ 𝑦))
37		breq1 5144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑏 ≤ 𝑦))
38	34, 35, 36, 37	ralpr 4697	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
39	38	rexbii 3093	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
40	33, 39	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
41	40	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
42	8, 9	isdrs 18236	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦)))
43	14, 24, 41, 42	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
44	13, 43	impbii 208	1 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4596  {cpr 4624   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  Fincfn 8922  Basecbs 17126  lecple 17186   Proset cproset 18228  Dirsetcdrs 18229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-1o 8448  df-en 8923  df-fin 8926  df-proset 18230  df-drs 18231

This theorem is referenced by: (None)