Theorem isdrs2 18266

Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isdrs2	⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drsprs 18263	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3		elinel1 4142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
4	3	elpwid 4551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
6		elinel2 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
8		drsbn0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		drsdirfi.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	8, 9	drsdirfi 18265	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
11	2, 5, 7, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
12	11	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
13	1, 12	jca 511	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))
14		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Proset )
15		0elpw 5294	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵
16		0fi 8983	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	15, 16	elini 4140	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
18		raleq 3293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
19	18	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
20	19	rspcv 3561	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
22		rexn0 4437	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
25		raleq 3293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
27		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
28		prelpwi 5395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29		prfi 9228	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
31	28, 30	elind 4141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
32	31	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
33	26, 27, 32	rspcdva 3566	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦)
34		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
35		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
36		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑎 ≤ 𝑦))
37		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑏 ≤ 𝑦))
38	34, 35, 36, 37	ralpr 4645	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
39	38	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
40	33, 39	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
41	40	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
42	8, 9	isdrs 18261	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦)))
43	14, 24, 41, 42	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
44	13, 43	impbii 209	1 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  Fincfn 8887  Basecbs 17173  lecple 17221   Proset cproset 18252  Dirsetcdrs 18253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-2o 8400  df-en 8888  df-fin 8891  df-proset 18254  df-drs 18255

This theorem is referenced by: (None)