MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs2 18241
Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isdrs2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 18238 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
2 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3 elinel1 4191 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
43elpwid 4605 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
54adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
6 elinel2 4192 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
76adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
8 drsbn0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 drsdirfi.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
108, 9drsdirfi 18240 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
112, 5, 7, 10syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
1211ralrimiva 3145 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
131, 12jca 512 . 2 (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
14 simpl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Proset )
15 0elpw 5347 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝐵
16 0fin 9154 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
1715, 16elini 4189 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
18 raleq 3321 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
1918rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2019rspcv 3605 . . . . . 6 (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2117, 20ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
22 rexn0 4504 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2423adantl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
25 raleq 3321 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
2625rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
27 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
28 prelpwi 5440 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29 prfi 9305 . . . . . . . . 9 {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
3128, 30elind 4190 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3231adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3326, 27, 32rspcdva 3610 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦)
34 vex 3477 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
35 vex 3477 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
36 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑎 𝑦))
37 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 𝑦𝑏 𝑦))
3834, 35, 36, 37ralpr 4697 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
3938rexbii 3093 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4033, 39sylib 217 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4140ralrimivva 3199 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
428, 9isdrs 18236 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦)))
4314, 24, 41, 42syl3anbrc 1343 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
4413, 43impbii 208 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cin 3943  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4596  {cpr 4624   class class class wbr 5141  cfv 6532  Fincfn 8922  Basecbs 17126  lecple 17186   Proset cproset 18228  Dirsetcdrs 18229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-1o 8448  df-en 8923  df-fin 8926  df-proset 18230  df-drs 18231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator