MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs2 18364
Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isdrs2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 18361 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3 elinel1 4211 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
43elpwid 4614 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
6 elinel2 4212 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
76adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
8 drsbn0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 drsdirfi.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
108, 9drsdirfi 18363 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
112, 5, 7, 10syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
1211ralrimiva 3144 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
131, 12jca 511 . 2 (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
14 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Proset )
15 0elpw 5362 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝐵
16 0fi 9081 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
1715, 16elini 4209 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
18 raleq 3321 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
1918rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2019rspcv 3618 . . . . . 6 (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2117, 20ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
22 rexn0 4517 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2423adantl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
25 raleq 3321 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
2625rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
27 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
28 prelpwi 5458 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29 prfi 9361 . . . . . . . . 9 {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
3128, 30elind 4210 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3231adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3326, 27, 32rspcdva 3623 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦)
34 vex 3482 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
35 vex 3482 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
36 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑎 𝑦))
37 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 𝑦𝑏 𝑦))
3834, 35, 36, 37ralpr 4705 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
3938rexbii 3092 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4033, 39sylib 218 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4140ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
428, 9isdrs 18359 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦)))
4314, 24, 41, 42syl3anbrc 1342 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
4413, 43impbii 209 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  Fincfn 8984  Basecbs 17245  lecple 17305   Proset cproset 18350  Dirsetcdrs 18351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-fin 8988  df-proset 18352  df-drs 18353
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator