Theorem isdrs2 18395

Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isdrs2	⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drsprs 18392	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
2		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3		elinel1 4147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
4	3	elpwid 4566	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
6		elinel2 4148	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
8		drsbn0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		drsdirfi.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	8, 9	drsdirfi 18394	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
11	2, 5, 7, 10	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
12	11	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
13	1, 12	jca 521	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))
14		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Proset )
15		0elpw 5320	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵
16		0fi 9050	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	15, 16	elini 4145	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
18		raleq 3316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
19	18	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
20	19	rspcv 3572	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
22		rexn0 4452	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
25		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
27		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
28		prelpwi 5422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29		prfi 9294	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
31	28, 30	elind 4146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
32	31	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
33	26, 27, 32	rspcdva 3577	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦)
34		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
35		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
36		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑎 ≤ 𝑦))
37		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑏 ≤ 𝑦))
38	34, 35, 36, 37	ralpr 4661	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
39	38	rexbii 3109	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
40	33, 39	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
41	40	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
42	8, 9	isdrs 18390	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦)))
43	14, 24, 41, 42	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
44	13, 43	impbii 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Fincfn 8953  Basecbs 17302  lecple 17350   Proset cproset 18381  Dirsetcdrs 18382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8456  df-2o 8457  df-en 8954  df-fin 8957  df-proset 18383  df-drs 18384

This theorem is used by: (None)