Theorem isdrs2 18263

Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isdrs2	⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drsprs 18260	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
2		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3		elinel1 4130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
4	3	elpwid 4538	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
6		elinel2 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
8		drsbn0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		drsdirfi.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	8, 9	drsdirfi 18262	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
11	2, 5, 7, 10	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
12	11	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
13	1, 12	jca 516	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))
14		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Proset )
15		0elpw 5284	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵
16		0fi 8979	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	15, 16	elini 4128	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
18		raleq 3294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
19	18	rexbidv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
20	19	rspcv 3556	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
22		rexn0 4424	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅)
24	23	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
25		raleq 3294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rexbidv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦))
27		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦)
28		prelpwi 5386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29		prfi 9224	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
31	28, 30	elind 4129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
32	31	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
33	26, 27, 32	rspcdva 3561	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦)
34		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
35		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
36		breq1 5075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑎 ≤ 𝑦))
37		breq1 5075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑏 ≤ 𝑦))
38	34, 35, 36, 37	ralpr 4632	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
39	38	rexbii 3086	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
40	33, 39	sylib 219	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
41	40	ralrimivva 3182	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦))
42	8, 9	isdrs 18258	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦)))
43	14, 24, 41, 42	syl3anbrc 1350	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
44	13, 43	impbii 210	1 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {cpr 4557   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  Fincfn 8883  Basecbs 17170  lecple 17218   Proset cproset 18249  Dirsetcdrs 18250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8884  df-fin 8887  df-proset 18251  df-drs 18252

This theorem is referenced by: (None)