Theorem ismgmn0 18569

Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ismgmn0.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ismgmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, ⚬ ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismgmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismgmn0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2	1	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
4	3	elfvexd 6897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ V)
5		ismgmn0.o	. . 3 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
6	1, 5	ismgm 18568	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mgmcmgm 18565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-mgm 18567

This theorem is referenced by:  mgmpropd  18578  mgm1  18585  opifismgm  18586  issgrpn0  18649  xrsmgm  21318  opmpoismgm  48155  nnsgrpmgm  48164  2zrngamgm  48233  2zrngmmgm  48240