Theorem ismgmn0 17905

Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ismgmn0.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ismgmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, ⚬ ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismgmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismgmn0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2	1	eleq2i 2842	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
3	2	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
4	3	elfvexd 6685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ V)
5		ismgmn0.o	. . 3 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
6	1, 5	ismgm 17904	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3068  Vcvv 3407  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526  +_gcplusg 16608  Mgmcmgm 17901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pr 5291

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-ral 3073  df-rex 3074  df-v 3409  df-sbc 3694  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-dm 5527  df-iota 6287  df-fv 6336  df-ov 7146  df-mgm 17903

This theorem is referenced by:  mgm1  17919  opifismgm  17920  issgrpn0  17955  xrsmgm  20186  mgmpropd  44747  opmpoismgm  44779  nnsgrpmgm  44788  2zrngamgm  44915  2zrngmmgm  44922