Theorem 2zrngamgm 48865

Description: R is an (additive) magma. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamgm	⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngamgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3657	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3657	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
9	8	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑦)))
10	9	cbvrexvw 3244	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))
11		zaddcl 12625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
12	11	ancoms 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
14		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
15		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zaddcl 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
19		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → (2 · 𝑧) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
20	19	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
21	20	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) ∧ 𝑧 = (𝑦 + 𝑥)) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
22		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
23	18, 21, 22	rspcedvd 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧))
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑎 = (2 · 𝑦))
25		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 = (2 · 𝑥))
26	24, 25	oveqan12rd 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
28		2cnd 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
29		zcn 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	30	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		zcn 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
35	28, 31, 34	adddid 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
36	35	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
37	27, 36	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
38	37	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
39	38	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
40	23, 39	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
41	40	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
42	41	rexlimdvaa 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
43	42	rexlimiva 3158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
44	43	imp 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
45		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
46	45	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
47	46	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
48	44, 47	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
49	48	impcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥))
50		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
51	50	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
52	51, 3	elrab2 3657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
53	13, 49, 52	sylanbrc 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
54	53	exp32 425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
55	54	impancom 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
56	55	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
57	10, 56	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
58	57	impcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
59	58	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
60	4, 7, 59	syl2anb 609	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
61	60	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸
62		0z 12593	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
63		2cn 12307	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
64		0zd 12594	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
65		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
66	65	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
67	66	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
68		mul01 11377	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
69	68	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
70	64, 67, 69	rspcedvd 3586	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
71	63, 70	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
72		eqeq1 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
73	72	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
74	73	elrab 3653	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
75	62, 71, 74	mpbir2an 723	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
76	75, 3	eleqtrri 2864	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
77		2zrngbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
78	3, 77	2zrngbas 48862	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
79	3, 77	2zrngadd 48863	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
80	78, 79	ismgmn0 18690	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
81	76, 80	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
82	61, 81	mpbir 234	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093  2c2 12286  ℤcz 12582   ↾_s cress 17280  Mgmcmgm 18686  ℂ_fldccnfld 21482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-mgm 18688  df-cnfld 21483

This theorem is referenced by:  2zrngasgrp  48866