Theorem 2zrngamgm 48744

Description: R is an (additive) magma. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamgm	⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngamgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3632	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3632	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
9	8	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑦)))
10	9	cbvrexvw 3218	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))
11		zaddcl 12559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
12	11	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
14		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
15		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zaddcl 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
19		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → (2 · 𝑧) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
20	19	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) ∧ 𝑧 = (𝑦 + 𝑥)) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
22		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
23	18, 21, 22	rspcedvd 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧))
24		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑎 = (2 · 𝑦))
25		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 = (2 · 𝑥))
26	24, 25	oveqan12rd 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
28		2cnd 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
29		zcn 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		zcn 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
35	28, 31, 34	adddid 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
37	27, 36	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
38	37	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
39	38	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
40	23, 39	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
41	40	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
42	41	rexlimdvaa 3141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
43	42	rexlimiva 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
44	43	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
45		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
46	45	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
47	46	cbvrexvw 3218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
48	44, 47	imbitrrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
49	48	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥))
50		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
51	50	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
52	51, 3	elrab2 3632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
53	13, 49, 52	sylanbrc 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
54	53	exp32 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
55	54	impancom 452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
56	55	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
57	10, 56	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
58	57	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
59	58	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
60	4, 7, 59	syl2anb 604	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
61	60	rgen2 3179	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸
62		0z 12527	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
63		2cn 12248	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
64		0zd 12528	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
65		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
66	65	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
67	66	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
68		mul01 11317	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
69	68	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
70	64, 67, 69	rspcedvd 3562	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
71	63, 70	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
72		eqeq1 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
73	72	rexbidv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
74	73	elrab 3629	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
75	62, 71, 74	mpbir2an 717	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
76	75, 3	eleqtrri 2838	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
77		2zrngbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
78	3, 77	2zrngbas 48741	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
79	3, 77	2zrngadd 48742	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
80	78, 79	ismgmn0 18602	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
81	76, 80	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
82	61, 81	mpbir 232	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030   + caddc 11033   · cmul 11035  2c2 12228  ℤcz 12516   ↾_s cress 17192  Mgmcmgm 18598  ℂ_fldccnfld 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-mgm 18600  df-cnfld 21349

This theorem is referenced by:  2zrngasgrp  48745