Theorem 2zrngamgm 48161

Description: R is an (additive) magma. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamgm	⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngamgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3695	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3695	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
9	8	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑦)))
10	9	cbvrexvw 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))
11		zaddcl 12657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
12	11	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zaddcl 12657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
19		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → (2 · 𝑧) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
20	19	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 𝑥) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) ∧ 𝑧 = (𝑦 + 𝑥)) → ((2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥))))
22		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
23	18, 21, 22	rspcedvd 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑎 = (2 · 𝑦))
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 = (2 · 𝑥))
26	24, 25	oveqan12rd 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
28		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
29		zcn 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		zcn 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
35	28, 31, 34	adddid 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (2 · (𝑦 + 𝑥)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 𝑥)))
37	27, 36	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) = (2 · (𝑦 + 𝑥)))
38	37	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
39	38	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (2 · (𝑦 + 𝑥)) = (2 · 𝑧)))
40	23, 39	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
41	40	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
42	41	rexlimdvaa 3156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
43	42	rexlimiva 3147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))))
44	43	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
45		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
46	45	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧)))
47	46	cbvrexvw 3238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑧))
48	44, 47	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
49	48	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥))
50		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
51	50	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
52	51, 3	elrab2 3695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 + 𝑏) = (2 · 𝑥)))
53	13, 49, 52	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
54	53	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
55	54	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
56	55	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑦) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
57	10, 56	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)))
58	57	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
59	58	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
60	4, 7, 59	syl2anb 598	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
61	60	rgen2 3199	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸
62		0z 12624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
63		2cn 12341	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
64		0zd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
65		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
66	65	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
68		mul01 11440	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
69	68	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
70	64, 67, 69	rspcedvd 3624	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
71	63, 70	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
72		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
73	72	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
74	73	elrab 3692	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
75	62, 71, 74	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
76	75, 3	eleqtrri 2840	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
77		2zrngbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
78	3, 77	2zrngbas 48158	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
79	3, 77	2zrngadd 48159	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
80	78, 79	ismgmn0 18655	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸))
81	76, 80	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐸)
82	61, 81	mpbir 231	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  ℤcz 12613   ↾_s cress 17274  Mgmcmgm 18651  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-mgm 18653  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  2zrngasgrp  48162