Theorem opmpoismgm 48450

Description: A structure with a group addition operation in maps-to notation is a magma if the operation value is contained in the base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opmpoismgm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
opmpoismgm.p	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
opmpoismgm.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
opmpoismgm.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opmpoismgm	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mgm)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem opmpoismgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opmpoismgm.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	ralrimivva 3178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐵)
4		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
5		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
7	6	ovmpoelrn 8016	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
10		opmpoismgm.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
11		n0 4304	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐵)
12		opmpoismgm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13		opmpoismgm.p	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
14	13	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘𝑀)
15	12, 14	ismgmn0 18569	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
16	15	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
17	11, 16	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
18	10, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
19	9, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∅c0 4284  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Mgmcmgm 18565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-mgm 18567

This theorem is referenced by:  copissgrp  48451