Theorem opmpoismgm 49264

Description: A structure with a group addition operation in maps-to notation is a magma if the operation value is contained in the base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opmpoismgm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
opmpoismgm.p	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
opmpoismgm.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
opmpoismgm.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opmpoismgm	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mgm)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem opmpoismgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opmpoismgm.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	ralrimivva 3205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐵)
4		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
5		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
7	6	ovmpoelrn 8085	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
10		opmpoismgm.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
11		n0 4299	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐵)
12		opmpoismgm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13		opmpoismgm.p	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
14	13	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘𝑀)
15	12, 14	ismgmn0 18818	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
16	15	exlimiv 1962	. . . 4 ⊢ (∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
17	11, 16	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
18	10, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
19	9, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mgm)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∅c0 4278  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Mgmcmgm 18814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-mgm 18816

This theorem is used by:  copissgrp  49265