Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opmpoismgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opmpoismgm 46187
Description: A structure with a group addition operation in maps-to notation is a magma if the operation value is contained in the base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opmpoismgm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
opmpoismgm.p (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
opmpoismgm.n (𝜑𝐵 ≠ ∅)
opmpoismgm.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
opmpoismgm (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem opmpoismgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opmpoismgm.c . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
21ralrimivva 3194 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
32adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
4 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
5 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
6 eqid 2733 . . . . 5 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
76ovmpoelrn 8005 . . . 4 ((∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
83, 4, 5, 7syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
98ralrimivva 3194 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
10 opmpoismgm.n . . 3 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 n0 4307 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐵)
12 opmpoismgm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
13 opmpoismgm.p . . . . . . 7 (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
1413eqcomi 2742 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g𝑀)
1512, 14ismgmn0 18504 . . . . 5 (𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1615exlimiv 1934 . . . 4 (∃𝑒 𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1711, 16sylbi 216 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1810, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
199, 18mpbird 257 1 (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  c0 4283  cfv 6497  (class class class)co 7358  cmpo 7360  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Mgmcmgm 18500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-mgm 18502
This theorem is referenced by:  copissgrp  46188
  Copyright terms: Public domain W3C validator