Theorem nnsgrpmgm 42615

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is a magma. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Proof of Theorem nnsgrpmgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11325	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnaddcl 11336	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ)
3	2	rgen2a 3158	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ
4		nnsscn 11317	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
5		nnsgrp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
6	5	cnfldsrngbas 42568	. . . . 5 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
8		nnex 11319	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
9	5	cnfldsrngadd 42569	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	7, 10	ismgmn0 17559	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ))
12	3, 11	mpbiri 250	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ Mgm)
13	1, 12	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  Vcvv 3385   ⊆ wss 3769  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  1c1 10225   + caddc 10227  ℕcn 11312  Basecbs 16184   ↾_s cress 16185  +_gcplusg 16267  Mgmcmgm 17555  ℂ_fldccnfld 20068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-mgm 17557  df-cnfld 20069

This theorem is referenced by:  nnsgrp  42616