Theorem nnsgrpmgm 44793

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is a magma. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Proof of Theorem nnsgrpmgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11675	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnaddcl 11687	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ)
3	2	rgen2 3133	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ
4		nnsscn 11669	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
5		nnsgrp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
6	5	cnfldsrngbas 44746	. . . . 5 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
8		nnex 11670	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
9	5	cnfldsrngadd 44747	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	7, 10	ismgmn0 17910	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ))
12	3, 11	mpbiri 261	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ Mgm)
13	1, 12	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  ℂcc 10563  1c1 10566   + caddc 10568  ℕcn 11664  Basecbs 16531   ↾_s cress 16532  +_gcplusg 16613  Mgmcmgm 17906  ℂ_fldccnfld 20156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-addf 10644

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-oadd 8114  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-5 11730  df-6 11731  df-7 11732  df-8 11733  df-9 11734  df-n0 11925  df-z 12011  df-dec 12128  df-uz 12273  df-fz 12930  df-struct 16533  df-ndx 16534  df-slot 16535  df-base 16537  df-sets 16538  df-ress 16539  df-plusg 16626  df-mulr 16627  df-starv 16628  df-tset 16632  df-ple 16633  df-ds 16635  df-unif 16636  df-mgm 17908  df-cnfld 20157

This theorem is referenced by:  nnsgrp  44794