Theorem nnsgrpmgm 48823

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is a magma. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Proof of Theorem nnsgrpmgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12240	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnaddcl 12252	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ)
3	2	rgen2 3211	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ
4		nnsscn 12234	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
5		nnsgrp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
6	5	cnfldsrngbas 48808	. . . . 5 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
8		nnex 12235	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
9	5	cnfldsrngadd 48809	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	7, 10	ismgmn0 18696	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ))
12	3, 11	mpbiri 261	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ Mgm)
13	1, 12	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  +_gcplusg 17306  Mgmcmgm 18692  ℂ_fldccnfld 21487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-mgm 18694  df-cnfld 21488

This theorem is referenced by:  nnsgrp  48824