Theorem nnsgrpmgm 48206

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is a magma. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Proof of Theorem nnsgrpmgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12133	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnaddcl 12145	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ)
3	2	rgen2 3172	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ
4		nnsscn 12127	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
5		nnsgrp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
6	5	cnfldsrngbas 48191	. . . . 5 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
8		nnex 12128	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
9	5	cnfldsrngadd 48192	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	7, 10	ismgmn0 18547	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ))
12	3, 11	mpbiri 258	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ Mgm)
13	1, 12	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  1c1 11004   + caddc 11006  ℕcn 12122  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138  +_gcplusg 17158  Mgmcmgm 18543  ℂ_fldccnfld 21289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-mgm 18545  df-cnfld 21290

This theorem is referenced by:  nnsgrp  48207