Theorem mgm1 18636

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mgm1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7408	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
2		opex 5439	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
3		fvsng 7172	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
4	2, 3	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
5	1, 4	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
6		snidg 4636	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
7	5, 6	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼})
8		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
9	8	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
10	9	ralbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
11	10	ralsng 4651	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
12		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
13	12	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
14	13	ralsng 4651	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
15	11, 14	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
16	7, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼})
17		snex 5406	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
18		mgm1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
19	18	grpbase 17303	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
21		snex 5406	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
22	18	grpplusg 17304	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
24	20, 23	ismgmn0 18620	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
25	6, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
26	16, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  {csn 4601  {cpr 4603  ⟨cop 4607  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Mgmcmgm 18616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mgm 18618

This theorem is referenced by:  sgrp1  18707