Theorem mgm1 18416

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mgm1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7319	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
2		opex 5397	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
3		fvsng 7091	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
4	2, 3	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
5	1, 4	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
6		snidg 4604	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
7	5, 6	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼})
8		oveq1 7323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
9	8	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
10	9	ralbidv 3170	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
11	10	ralsng 4618	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
12		oveq2 7324	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
13	12	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
14	13	ralsng 4618	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
15	11, 14	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
16	7, 15	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼})
17		snex 5368	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
18		mgm1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
19	18	grpbase 17070	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
21		snex 5368	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
22	18	grpplusg 17072	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
24	20, 23	ismgmn0 18402	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
25	6, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
26	16, 25	mpbird 256	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  Vcvv 3440  {csn 4570  {cpr 4572  ⟨cop 4576  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  ndxcnx 16968  Basecbs 16986  +_gcplusg 17036  Mgmcmgm 18398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-struct 16922  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-plusg 17049  df-mgm 18400

This theorem is referenced by:  sgrp1  18458