Theorem mgmcl 18551

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mgmcl.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mgmcl	⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mgmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mgmcl.o	. . . . 5 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
3	1, 2	ismgm 18549	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
4	3	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		ovrspc2v 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	expcom 413	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
8	7	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Mgmcmgm 18546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-mgm 18548

This theorem is referenced by:  isnmgm  18552  mgmsscl  18553  mgmplusf  18558  issstrmgm  18561  gsummgmpropd  18589  mgmhmf1o  18608  idmgmhm  18609  issubmgm2  18611  rabsubmgmd  18612  mgmhmco  18622  mgmhmeql  18624  submgmacs  18625  sgrpcl  18634  mndcl  18650  gsumsgrpccat  18748  smndex1sgrp  18816  dfgrp2  18875  dfgrp3e  18953  mulgnncl  19002  mulgnndir  19016  rngcl  20082  c0mgm  20377  c0snmgmhm  20380  psraddcl  21875  mgmplusgiopALT  48293