MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgmcl 17974
Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgmcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mgmcl.o = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mgmcl ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mgmcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 mgmcl.o . . . . 5 = (+g𝑀)
31, 2ismgm 17972 . . . 4 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵))
43ibi 270 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
5 ovrspc2v 7199 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
65expcom 417 . . 3 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵))
74, 6syl 17 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵))
873impib 1117 1 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  cfv 6340  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  +gcplusg 16671  Mgmcmgm 17969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-nul 5175
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-ral 3059  df-rex 3060  df-v 3401  df-sbc 3682  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-iota 6298  df-fv 6348  df-ov 7176  df-mgm 17971
This theorem is referenced by:  isnmgm  17975  mgmsscl  17976  mgmplusf  17981  issstrmgm  17982  gsummgmpropd  18010  mndcl  18038  gsumsgrpccat  18123  smndex1sgrp  18192  dfgrp2  18249  dfgrp3e  18320  mulgnncl  18364  mulgnndir  18377  mgmhmf1o  44905  idmgmhm  44906  issubmgm2  44908  rabsubmgmd  44909  mgmhmco  44919  mgmhmeql  44921  submgmacs  44922  mgmplusgiopALT  44952  rngcl  45005  c0mgm  45031  c0snmgmhm  45036
  Copyright terms: Public domain W3C validator