Theorem mgmcl 17598

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mgmcl.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mgmcl	⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mgmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mgmcl.o	. . . . 5 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
3	1, 2	ismgm 17596	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
4	3	ibi 259	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		ovrspc2v 6931	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	expcom 404	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
8	7	3impib 1150	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +_gcplusg 16305  Mgmcmgm 17593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-nul 5013

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-iota 6086  df-fv 6131  df-ov 6908  df-mgm 17595

This theorem is referenced by:  isnmgm  17599  mgmplusf  17604  issstrmgm  17605  gsummgmpropd  17628  mndcl  17654  dfgrp2  17801  dfgrp3e  17869  mulgnncl  17910  mulgnndir  17922  mgmhmf1o  42634  idmgmhm  42635  issubmgm2  42637  rabsubmgmd  42638  mgmhmco  42648  mgmhmeql  42650  submgmacs  42651  mgmplusgiopALT  42677  rngcl  42730  c0mgm  42756  c0snmgmhm  42761