Theorem mgmcl 18681

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mgmcl.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mgmcl	⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mgmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mgmcl.o	. . . . 5 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
3	1, 2	ismgm 18679	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
4	3	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		ovrspc2v 7474	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	expcom 413	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
8	7	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mgmcmgm 18676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-nul 5324

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-mgm 18678

This theorem is referenced by:  isnmgm  18682  mgmsscl  18683  mgmplusf  18688  issstrmgm  18691  gsummgmpropd  18719  mgmhmf1o  18738  idmgmhm  18739  issubmgm2  18741  rabsubmgmd  18742  mgmhmco  18752  mgmhmeql  18754  submgmacs  18755  sgrpcl  18764  mndcl  18780  gsumsgrpccat  18875  smndex1sgrp  18943  dfgrp2  19002  dfgrp3e  19080  mulgnncl  19129  mulgnndir  19143  rngcl  20191  c0mgm  20485  c0snmgmhm  20488  psraddcl  21981  mgmplusgiopALT  47917