Theorem 2zrngmmgm 48725

Description: R is a (multiplicative) magma. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngmmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3638	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3638	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		zmulcl 12565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
9	8	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
10		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℤ
11		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℤ
12		nfre1 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)
13	11, 12	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))
14		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)
15	13, 14	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
16	10, 15	nfim 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
17		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℤ)
19		zmulcl 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
21		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → (2 · 𝑦) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
22	21	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) ∧ 𝑦 = (𝑥 · 𝑏)) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
24		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
25	24	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
26		2cnd 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	26, 28, 31	mulassd 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ((2 · 𝑥) · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
33	25, 32	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
34	20, 23, 33	rspcedvd 3567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
35	34	exp41 434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))))
36	16, 35	rexlimi 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))))
37	36	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
38	37	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
39		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
40	39	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
41	40, 3	elrab2 3638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
42		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
44	43	cbvrexvw 3217	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
45	44	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
46	41, 45	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
47	9, 38, 46	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
48	4, 7, 47	syl2anb 599	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸
50	3	0even 48710	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
51		2zrngmmgm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
52		2zrngbas.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
53	3, 52	2zrngbas 48715	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
54	51, 53	mgpbas 20115	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
55	3, 52	2zrngmul 48724	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	51, 55	mgpplusg 20114	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
57	54, 56	ismgmn0 18599	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸))
58	50, 57	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
59	49, 58	mpbir 231	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027   · cmul 11032  2c2 12225  ℤcz 12513   ↾_s cress 17189  Mgmcmgm 18595  mulGrpcmgp 20110  ℂ_fldccnfld 21342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-mgm 18597  df-mgp 20111  df-cnfld 21343

This theorem is referenced by:  2zrngmsgrp  48726