Theorem 2zrngmmgm 46798

Description: R is a (multiplicative) magma. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngmmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3686	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3686	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		zmulcl 12608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
9	8	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
10		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℤ
11		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℤ
12		nfre1 3283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)
13	11, 12	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))
14		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)
15	13, 14	nfim 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
16	10, 15	nfim 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
17		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℤ)
19		zmulcl 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
21		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → (2 · 𝑦) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
22	21	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
23	22	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) ∧ 𝑦 = (𝑥 · 𝑏)) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
24		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
25	24	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
26		2cnd 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		zcn 12560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
30	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	26, 28, 31	mulassd 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ((2 · 𝑥) · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
33	25, 32	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
34	20, 23, 33	rspcedvd 3615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
35	34	exp41 436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))))
36	16, 35	rexlimi 3257	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))))
37	36	impcom 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
38	37	imp 408	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
39		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
40	39	rexbidv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
41	40, 3	elrab2 3686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
42		oveq2 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
44	43	cbvrexvw 3236	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
45	44	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
46	41, 45	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
47	9, 38, 46	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
48	4, 7, 47	syl2anb 599	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	rgen2 3198	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸
50	3	0even 46783	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
51		2zrngmmgm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
52		2zrngbas.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
53	3, 52	2zrngbas 46788	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
54	51, 53	mgpbas 19988	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
55	3, 52	2zrngmul 46797	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	51, 55	mgpplusg 19986	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
57	54, 56	ismgmn0 18560	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸))
58	50, 57	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
59	49, 58	mpbir 230	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107   · cmul 11112  2c2 12264  ℤcz 12555   ↾_s cress 17170  Mgmcmgm 18556  mulGrpcmgp 19982  ℂ_fldccnfld 20937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-mgm 18558  df-mgp 19983  df-cnfld 20938

This theorem is referenced by:  2zrngmsgrp  46799