Theorem 2zrngmmgm 48168

Description: R is a (multiplicative) magma. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngmmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3695	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3695	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		zmulcl 12666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
9	8	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
10		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℤ
11		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℤ
12		nfre1 3285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)
13	11, 12	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))
14		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)
15	13, 14	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
16	10, 15	nfim 1896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
17		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℤ)
19		zmulcl 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
21		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → (2 · 𝑦) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
22	21	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) ∧ 𝑦 = (𝑥 · 𝑏)) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
24		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
25	24	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
26		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 12618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		zcn 12618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	26, 28, 31	mulassd 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ((2 · 𝑥) · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
33	25, 32	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
34	20, 23, 33	rspcedvd 3624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
35	34	exp41 434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))))
36	16, 35	rexlimi 3259	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))))
37	36	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
38	37	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
39		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
40	39	rexbidv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
41	40, 3	elrab2 3695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
42		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
44	43	cbvrexvw 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
45	44	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
46	41, 45	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
47	9, 38, 46	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
48	4, 7, 47	syl2anb 598	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	rgen2 3199	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸
50	3	0even 48153	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
51		2zrngmmgm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
52		2zrngbas.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
53	3, 52	2zrngbas 48158	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
54	51, 53	mgpbas 20142	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
55	3, 52	2zrngmul 48167	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	51, 55	mgpplusg 20141	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
57	54, 56	ismgmn0 18655	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸))
58	50, 57	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
59	49, 58	mpbir 231	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160  2c2 12321  ℤcz 12613   ↾_s cress 17274  Mgmcmgm 18651  mulGrpcmgp 20137  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-mgm 18653  df-mgp 20138  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  2zrngmsgrp  48169