Theorem cnvepresdmqss 39414

Description: The domain quotient binary relation of the restricted converse epsilon relation is equivalent to the negated elementhood of the empty set in the restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 14-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnvepresdmqss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) DomainQss 𝐴 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem cnvepresdmqss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 39013	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		brdmqss 39407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V) → ((◡ E ↾ 𝐴) DomainQss 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
3	1, 2	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) DomainQss 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
4		n0el3 39413	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
5	3, 4	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) DomainQss 𝐴 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∅c0 4285   class class class wbr 5108   E cep 5559  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660   ↾ cres 5662   / cqs 8691   DomainQss cdmqss 38883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-eprel 5560  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ec 8694  df-qs 8698  df-dmqss 39399

This theorem is used by: (None)