Theorem eldisjn0elb 38747

Description: Two forms of disjoint elements when the empty set is not an element of the class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjn0elb	⊢ (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))

Proof of Theorem eldisjn0elb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38709	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		n0el3 38653	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
3	1, 2	anbi12i 628	1 ⊢ (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332   E cep 5582  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684   ↾ cres 5686   / cqs 8745   Disj wdisjALTV 38217   ElDisj weldisj 38219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-eprel 5583  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ec 8748  df-qs 8752  df-eldisj 38709

This theorem is referenced by:  mpet3  38838  cpet2  38839