Theorem eldisjn0elb 36959

Description: Two forms of disjoint elements when the empty set is not an element of the class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjn0elb	⊢ (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))

Proof of Theorem eldisjn0elb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 36921	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		n0el3 36865	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
3	1, 2	anbi12i 628	1 ⊢ (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∅c0 4262   E cep 5505  ^◡ccnv 5599  dom cdm 5600   ↾ cres 5602   / cqs 8528   Disj wdisjALTV 36415   ElDisj weldisj 36417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-eprel 5506  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ec 8531  df-qs 8535  df-eldisj 36921

This theorem is referenced by:  mpet3  37050  cpet2  37051