Theorem eldisjn0elb 38768

Description: Two forms of disjoint elements when the empty set is not an element of the class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjn0elb	⊢ (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))

Proof of Theorem eldisjn0elb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38730	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		n0el3 38674	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
3	1, 2	anbi12i 628	1 ⊢ (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4313   E cep 5557  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   / cqs 8723   Disj wdisjALTV 38238   ElDisj weldisj 38240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-eprel 5558  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8726  df-qs 8730  df-eldisj 38730

This theorem is referenced by:  mpet3  38859  cpet2  38860