Theorem eldisjn0el 38804

Description: Special case of disjdmqseq 38803 (perhaps this is the closest theorem to the former prter2 38880). (Contributed by Peter Mazsa, 26-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjn0el	⊢ ( ElDisj 𝐴 → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem eldisjn0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqseq 38803	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) → ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
2		df-eldisj 38705	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
3		n0el3 38649	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
4		dmqs1cosscnvepreseq 38660	. . . 4 ⊢ ((dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)
5	4	bicomi 224	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
6	3, 5	bibi12i 339	. 2 ⊢ ((¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴) ↔ ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
7	1, 2, 6	3imtr4i 292	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4284  ∪ cuni 4858   E cep 5518  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   ↾ cres 5621   / cqs 8624   ≀ ccoss 38175   ∼ ccoels 38176   Disj wdisjALTV 38209   ElDisj weldisj 38211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-eprel 5519  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ec 8627  df-qs 8631  df-coss 38408  df-coels 38409  df-cnvrefrel 38524  df-disjALTV 38703  df-eldisj 38705

This theorem is referenced by:  mainer  38832