Theorem eldisjn0el 38762

Description: Special case of disjdmqseq 38761 (perhaps this is the closest theorem to the former prter2 38837). (Contributed by Peter Mazsa, 26-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjn0el	⊢ ( ElDisj 𝐴 → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem eldisjn0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqseq 38761	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) → ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
2		df-eldisj 38663	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
3		n0el3 38607	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
4		dmqs1cosscnvepreseq 38618	. . . 4 ⊢ ((dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)
5	4	bicomi 224	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
6	3, 5	bibi12i 339	. 2 ⊢ ((¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴) ↔ ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
7	1, 2, 6	3imtr4i 292	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  ∪ cuni 4931   E cep 5598  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   / cqs 8762   ≀ ccoss 38135   ∼ ccoels 38136   Disj wdisjALTV 38169   ElDisj weldisj 38171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-eprel 5599  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ec 8765  df-qs 8769  df-coss 38367  df-coels 38368  df-cnvrefrel 38483  df-disjALTV 38661  df-eldisj 38663

This theorem is referenced by:  mainer  38790