Theorem eldisjn0el 38787

Description: Special case of disjdmqseq 38786 (perhaps this is the closest theorem to the former prter2 38862). (Contributed by Peter Mazsa, 26-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjn0el	⊢ ( ElDisj 𝐴 → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem eldisjn0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqseq 38786	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) → ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
2		df-eldisj 38688	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
3		n0el3 38632	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
4		dmqs1cosscnvepreseq 38643	. . . 4 ⊢ ((dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)
5	4	bicomi 224	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
6	3, 5	bibi12i 339	. 2 ⊢ ((¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴) ↔ ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴))
7	1, 2, 6	3imtr4i 292	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∅c0 4338  ∪ cuni 4911   E cep 5587  ^◡ccnv 5687  dom cdm 5688   ↾ cres 5690   / cqs 8742   ≀ ccoss 38161   ∼ ccoels 38162   Disj wdisjALTV 38195   ElDisj weldisj 38197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-eprel 5588  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ec 8745  df-qs 8749  df-coss 38392  df-coels 38393  df-cnvrefrel 38508  df-disjALTV 38686  df-eldisj 38688

This theorem is referenced by:  mainer  38815