Theorem nff1o 6852

Description: Bound-variable hypothesis builder for a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nff1o.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
nff1o.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nff1o.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nff1o	⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵

Proof of Theorem nff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 6573	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐵))
2		nff1o.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nff1o.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nff1o.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	2, 3, 4	nff1 6806	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵
6	2, 3, 4	nffo 6825	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴⟶onto𝐵
7	5, 6	nfan 1934	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐵)
8	1, 7	nfxfr 1886	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401  Ⅎwnf 1816  Ⅎwnfc 2911  ⟶1-1wf1 6563  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573

This theorem is used by:  nfiso  7361  nfsum1  15901  nfsum  15902  nfcprod1  16121  nfcprod  16122  fsumiunle  33516  esumiun  34837  stoweidlem35  47318