Theorem nfcprod1 15620

Description: Bound-variable hypothesis builder for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
nfcprod1.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴

Assertion

Ref	Expression
nfcprod1	⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem nfcprod1

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-prod 15616	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))))
2		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℤ
3		nfcprod1.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(ℤ≥‘𝑚)
5	3, 4	nfss 3913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚)
6		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ≠ 0
7		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
8		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
9		nfmpt1 5182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
10	7, 8, 9	nfseq 13731	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))
11		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 ⇝
12		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
13	10, 11, 12	nfbr 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦
14	6, 13	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
15	14	nfex 2318	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
16	4, 15	nfrex 3242	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
17		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
18	17, 8, 9	nfseq 13731	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))
19		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
20	18, 11, 19	nfbr 5121	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥
21	5, 16, 20	nf3an 1904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)
22	2, 21	nfrex 3242	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)
23		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
24		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
25		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑚)
26	24, 25, 3	nff1o 6714	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴
27		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘1
28		nfcsb1v 3857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵
29	23, 28	nfmpt 5181	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
30	27, 8, 29	nfseq 13731	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))
31	30, 17	nffv 6784	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)
32	31	nfeq2 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)
33	26, 32	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))
34	33	nfex 2318	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))
35	23, 34	nfrex 3242	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))
36	22, 35	nfor 1907	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)))
37	36	nfiotaw 6395	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))))
38	1, 37	nfcxfr 2905	1 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  ⦋csb 3832   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ℩cio 6389  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721   ⇝ cli 15193  ∏cprod 15615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-seq 13722  df-prod 15616

This theorem is referenced by:  fprodcn  43141  dvmptfprod  43486  vonicc  44223