Theorem nfcprod1 15929

Description: Bound-variable hypothesis builder for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
nfcprod1.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴

Assertion

Ref	Expression
nfcprod1	⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem nfcprod1

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-prod 15925	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))))
2		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℤ
3		nfcprod1.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(ℤ≥‘𝑚)
5	3, 4	nfss 3956	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚)
6		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ≠ 0
7		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
8		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
9		nfmpt1 5225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
10	7, 8, 9	nfseq 14034	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))
11		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 ⇝
12		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
13	10, 11, 12	nfbr 5171	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦
14	6, 13	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
15	14	nfex 2325	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
16	4, 15	nfrexw 3297	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
17		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
18	17, 8, 9	nfseq 14034	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))
19		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
20	18, 11, 19	nfbr 5171	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥
21	5, 16, 20	nf3an 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)
22	2, 21	nfrexw 3297	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)
23		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
24		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
25		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑚)
26	24, 25, 3	nff1o 6821	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴
27		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘1
28		nfcsb1v 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵
29	23, 28	nfmpt 5224	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
30	27, 8, 29	nfseq 14034	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))
31	30, 17	nffv 6891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)
32	31	nfeq2 2917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)
33	26, 32	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))
34	33	nfex 2325	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))
35	23, 34	nfrexw 3297	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))
36	22, 35	nfor 1904	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)))
37	36	nfiotaw 6493	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))))
38	1, 37	nfcxfr 2897	1 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  ⦋csb 3879   ⊆ wss 3931  ifcif 4505   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ℩cio 6487  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  seqcseq 14024   ⇝ cli 15505  ∏cprod 15924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-seq 14025  df-prod 15925

This theorem is referenced by:  fprodcn  45596  dvmptfprod  45941  vonicc  46681