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Theorem fsumiunle 32073
Description: Upper bound for a sum of nonnegative terms over an indexed union. The inequality may be strict if the indexed union is non-disjoint, since in the right hand side, a summand may be counted several times. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunle.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumiunle.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
fsumiunle.3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fsumiunle.4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
fsumiunle (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘˜)
Proof of Theorem fsumiunle
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiunle.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 fsumiunle.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
31, 2aciunf1 31926 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4 f1f1orn 6844 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
54anim1i 615 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
6 f1f 6787 . . . . . . 7 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡⟢βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
76frnd 6725 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
95, 8jca 512 . . . 4 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
109eximi 1837 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
113, 10syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
12 csbeq1a 3907 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
13 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
14 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
15 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦𝐢
16 nfcsb1v 3918 . . . . . . 7 β„²π‘˜β¦‹π‘¦ / π‘˜β¦ŒπΆ
1712, 13, 14, 15, 16cbvsum 15643 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 = Σ𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ
18 csbeq1 3896 . . . . . . 7 (𝑦 = (2nd β€˜π‘§) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
19 snfi 9046 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯} ∈ Fin
20 xpfi 9319 . . . . . . . . . . . 12 (({π‘₯} ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
2119, 2, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
2221ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
23 iunfi 9342 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
241, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
26 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
2725, 26ssfid 9269 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
28 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
29 f1ocnv 6845 . . . . . . . . 9 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
3130adantrlr 721 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
32 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯πœ‘
33 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑓
34 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3533nfrn 5951 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯ran 𝑓
3633, 34, 35nff1o 6831 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓
37 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3834, 37nfralw 3308 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3936, 38nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
40 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ran 𝑓
41 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)
4240, 41nfss 3974 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)
4339, 42nfan 1902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
4432, 43nfan 1902 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
45 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑧 ∈ ran 𝑓
4644, 45nfan 1902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
4847fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜π‘§))
49 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
50 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
5150simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
5251simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
5352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
54 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = π‘˜ β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = π‘˜ β†’ 𝑙 = π‘˜)
5654, 55eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙 ↔ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜))
5756rspcva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5849, 53, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5948, 58eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
6051simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
62 f1ocnvfv1 7276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
6361, 49, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
6447fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (β—‘π‘“β€˜π‘§))
6559, 63, 643eqtr2rd 2779 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
66 f1ofn 6834 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ 𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
68 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
69 fvelrnb 6952 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧))
7069biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
7167, 68, 70syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
7265, 71r19.29a 3162 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
7326sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
74 eliun 5001 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
7573, 74sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
7646, 72, 75r19.29af 3265 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
77 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
78 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β„‚
7916, 78nfel 2917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘¦ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
8077, 79nfim 1899 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
81 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
8281anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)))
8312eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
8482, 83imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)))
85 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯π‘˜
8685, 34nfel 2917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
8732, 86nfan 1902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
88 fsumiunle.3 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
8988adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
9089recnd 11244 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
91 eliun 5001 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
9291biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
9392adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
9487, 90, 93r19.29af 3265 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9580, 84, 94chvarfv 2233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
9695adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
9718, 27, 31, 76, 96fsumf1o 15671 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Σ𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
9817, 97eqtrid 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 = Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
9998eqcomd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢)
100 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑧
101100, 41nfel 2917 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)
10232, 101nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
103 xp2nd 8010 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
104103adantl 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
10588ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ)
106105adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ)
107106adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ)
108 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
109108nfel1 2919 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ
110 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
111110eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ))
112109, 111rspc 3600 . . . . . . . . 9 ((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ))
113112imp 407 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
114104, 107, 113syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
11574biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
116115adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
117102, 114, 116r19.29af 3265 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
118117adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
119 xp1st 8009 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {π‘₯})
120 elsni 4645 . . . . . . . . . . 11 ((1st β€˜π‘§) ∈ {π‘₯} β†’ (1st β€˜π‘§) = π‘₯)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) = π‘₯)
122121, 103jca 512 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
123 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
124 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
125 fsumiunle.4 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝐢)
126125ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢)
127123, 124, 126syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢)
128122, 127sylan2 593 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢)
129 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜0
130 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ ≀
131129, 130, 108nfbr 5195 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
132110breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ (0 ≀ 𝐢 ↔ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ))
133131, 132rspc 3600 . . . . . . . . 9 ((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢 β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ))
134133imp 407 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
135104, 128, 134syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
136102, 135, 116r19.29af 3265 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
137136adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
13825, 118, 137, 26fsumless 15744 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ≀ Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
13999, 138eqbrtrrd 5172 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
140 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦𝐡
141 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π΅
14212, 140, 141, 15, 16cbvsum 15643 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ
143142a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
144143sumeq2sdv 15652 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
145 vex 3478 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
146 vex 3478 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
147145, 146op2ndd 7988 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = 𝑦)
148147eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ 𝑦 = (2nd β€˜π‘§))
149148csbeq1d 3897 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
150149eqcomd 2738 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
151 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)
15216nfel1 2919 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘¦ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
153151, 152nfim 1899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
154 eleq1w 2816 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ 𝐡))
155154anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
156155, 83imbi12d 344 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)))
15788recnd 11244 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
158153, 156, 157chvarfv 2233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
159158anasss 467 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
160150, 1, 2, 159fsum2d 15719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
161144, 160eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
162161adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
163139, 162breqtrrd 5176 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
16411, 163exlimddv 1938 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  β¦‹csb 3893   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   Fn wfn 6538  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11251  Ξ£csu 15634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-r1 9761  df-rank 9762  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635
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