Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumiunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumiunle 31781
Description: Upper bound for a sum of nonnegative terms over an indexed union. The inequality may be strict if the indexed union is non-disjoint, since in the right hand side, a summand may be counted several times. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunle.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumiunle.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
fsumiunle.3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fsumiunle.4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
fsumiunle (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem fsumiunle
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiunle.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 fsumiunle.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
31, 2aciunf1 31632 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4 f1f1orn 6799 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
54anim1i 616 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
6 f1f 6742 . . . . . . 7 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡⟢βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
76frnd 6680 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
87adantr 482 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
95, 8jca 513 . . . 4 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
109eximi 1838 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
113, 10syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
12 csbeq1a 3873 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
13 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
14 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
15 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦𝐢
16 nfcsb1v 3884 . . . . . . 7 β„²π‘˜β¦‹π‘¦ / π‘˜β¦ŒπΆ
1712, 13, 14, 15, 16cbvsum 15588 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 = Σ𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ
18 csbeq1 3862 . . . . . . 7 (𝑦 = (2nd β€˜π‘§) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
19 snfi 8994 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯} ∈ Fin
20 xpfi 9267 . . . . . . . . . . . 12 (({π‘₯} ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
2119, 2, 20sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
2221ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
23 iunfi 9290 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
241, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
2524adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ∈ Fin)
26 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
2725, 26ssfid 9217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
28 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
29 f1ocnv 6800 . . . . . . . . 9 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
3130adantrlr 722 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
32 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯πœ‘
33 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑓
34 nfiu1 4992 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3533nfrn 5911 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯ran 𝑓
3633, 34, 35nff1o 6786 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓
37 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3834, 37nfralw 3293 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3936, 38nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
40 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ran 𝑓
41 nfiu1 4992 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)
4240, 41nfss 3940 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)
4339, 42nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
4432, 43nfan 1903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
45 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑧 ∈ ran 𝑓
4644, 45nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
4847fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜π‘§))
49 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
50 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)))
5150simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
5251simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
54 2fveq3 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = π‘˜ β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = π‘˜ β†’ 𝑙 = π‘˜)
5654, 55eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙 ↔ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜))
5756rspcva 3581 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5849, 53, 57syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5948, 58eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
6051simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
62 f1ocnvfv1 7226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
6361, 49, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
6447fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (β—‘π‘“β€˜π‘§))
6559, 63, 643eqtr2rd 2780 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
66 f1ofn 6789 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ 𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
68 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
69 fvelrnb 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧))
7069biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
7167, 68, 70syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
7265, 71r19.29a 3156 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
7326sselda 3948 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
74 eliun 4962 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
7573, 74sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
7646, 72, 75r19.29af 3250 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
77 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
78 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β„‚
7916, 78nfel 2918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘¦ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
8077, 79nfim 1900 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
81 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
8281anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)))
8312eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
8482, 83imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)))
85 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯π‘˜
8685, 34nfel 2918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
8732, 86nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
88 fsumiunle.3 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
8988adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
9089recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
91 eliun 4962 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
9291biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
9392adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
9487, 90, 93r19.29af 3250 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9580, 84, 94chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
9695adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
9718, 27, 31, 76, 96fsumf1o 15616 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Σ𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
9817, 97eqtrid 2785 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 = Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
9998eqcomd 2739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢)
100 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑧
101100, 41nfel 2918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)
10232, 101nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))
103 xp2nd 7958 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
104103adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
10588ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ)
106105adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ)
107106adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ)
108 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
109108nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ
110 csbeq1a 3873 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
111110eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ))
112109, 111rspc 3571 . . . . . . . . 9 ((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ))
113112imp 408 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
114104, 107, 113syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
11574biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
116115adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡))
117102, 114, 116r19.29af 3250 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
118117adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ ℝ)
119 xp1st 7957 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {π‘₯})
120 elsni 4607 . . . . . . . . . . 11 ((1st β€˜π‘§) ∈ {π‘₯} β†’ (1st β€˜π‘§) = π‘₯)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) = π‘₯)
122121, 103jca 513 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡) β†’ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
123 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
124 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
125 fsumiunle.4 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝐢)
126125ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢)
127123, 124, 126syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = π‘₯ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢)
128122, 127sylan2 594 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢)
129 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜0
130 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ ≀
131129, 130, 108nfbr 5156 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
132110breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ (0 ≀ 𝐢 ↔ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ))
133131, 132rspc 3571 . . . . . . . . 9 ((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢 β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ))
134133imp 408 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 0 ≀ 𝐢) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
135104, 128, 134syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
136102, 135, 116r19.29af 3250 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
137136adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)) β†’ 0 ≀ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
13825, 118, 137, 26fsumless 15689 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Σ𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ≀ Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
13999, 138eqbrtrrd 5133 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
140 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦𝐡
141 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π΅
14212, 140, 141, 15, 16cbvsum 15588 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ
143142a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
144143sumeq2sdv 15597 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
145 vex 3451 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
146 vex 3451 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
147145, 146op2ndd 7936 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = 𝑦)
148147eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ 𝑦 = (2nd β€˜π‘§))
149148csbeq1d 3863 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
150149eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ)
151 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)
15216nfel1 2920 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘¦ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
153151, 152nfim 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
154 eleq1w 2817 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ 𝐡))
155154anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
156155, 83imbi12d 345 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)))
15788recnd 11191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
158153, 156, 157chvarfv 2234 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
159158anasss 468 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
160150, 1, 2, 159fsum2d 15664 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐡 ⦋𝑦 / π‘˜β¦ŒπΆ = Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
161144, 160eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
162161adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 = Σ𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
163139, 162breqtrrd 5137 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
16411, 163exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  β¦‹csb 3859   βŠ† wss 3914  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   Fn wfn 6495  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   ≀ cle 11198  Ξ£csu 15579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-r1 9708  df-rank 9709  df-card 9883  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580
This theorem is referenced by:  hgt750lema  33334
  Copyright terms: Public domain W3C validator