MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfcprod 15855
Description: Bound-variable hypothesis builder for product: if ๐‘ฅ is (effectively) not free in ๐ด and ๐ต, it is not free in โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nfcprod.1 โ„ฒ๐‘ฅ๐ด
nfcprod.2 โ„ฒ๐‘ฅ๐ต
Assertion
Ref Expression
nfcprod โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem nfcprod
Dummy variables ๐‘“ ๐‘š ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 15850 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฆ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฆ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
2 nfcv 2904 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโ„ค
3 nfcprod.1 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐ด
4 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)
53, 4nfss 3975 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)
6 nfv 1918 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘ง โ‰  0
7 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘›
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
93nfcri 2891 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด
10 nfcprod.2 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ๐ต
11 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ1
129, 10, 11nfif 4559 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅif(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)
132, 12nfmpt 5256 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
147, 8, 13nfseq 13976 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅseq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))
15 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ โ‡
16 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ง
1714, 15, 16nfbr 5196 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅseq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง
186, 17nfan 1903 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง)
1918nfex 2318 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง)
204, 19nfrexw 3311 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง)
21 nfcv 2904 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘š
2221, 8, 13nfseq 13976 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅseq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))
23 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ฆ
2422, 15, 23nfbr 5196 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅseq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ
255, 20, 24nf3an 1905 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)
262, 25nfrexw 3311 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)
27 nfcv 2904 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโ„•
28 nfcv 2904 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘“
29 nfcv 2904 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ(1...๐‘š)
3028, 29, 3nff1o 6832 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด
31 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘“โ€˜๐‘›)
3231, 10nfcsbw 3921 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต
3327, 32nfmpt 5256 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
3411, 8, 33nfseq 13976 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅseq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
3534, 21nffv 6902 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ(seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)
3635nfeq2 2921 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘ฆ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)
3730, 36nfan 1903 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฆ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))
3837nfex 2318 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฆ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))
3927, 38nfrexw 3311 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฆ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))
4026, 39nfor 1908 . . 3 โ„ฒ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฆ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))
4140nfiotaw 6500 . 2 โ„ฒ๐‘ฅ(โ„ฉ๐‘ฆ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ง) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฆ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
421, 41nfcxfr 2902 1 โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โ„ฒwnfc 2884   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  โฆ‹csb 3894   โŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ„ฉcio 6494  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  seqcseq 13966   โ‡ cli 15428  โˆcprod 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seq 13967  df-prod 15850
This theorem is referenced by:  fprod2dlem  15924  fprodcom2  15928  fprodcn  44316  fprodcncf  44616
  Copyright terms: Public domain W3C validator