Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumiun 33621
Description: Sum over a nonnecessarily disjoint indexed union. The inequality is strict in the case where the sets B(x) overlap. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumiun.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esumiun.1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
esumiun.2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumiun (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,𝑗   𝑗,π‘Š,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑗)   𝐢(π‘˜)   𝑉(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem esumiun
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumiun.0 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 esumiun.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
31, 2aciunf1 32392 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4 f1f1orn 6837 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
54anim1i 614 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
6 f1f 6780 . . . . . . 7 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
76frnd 6718 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
95, 8jca 511 . . . 4 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
109eximi 1829 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
113, 10syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
12 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
13 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑧𝐢
14 nfcsb1v 3913 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
15 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑧βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
16 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑧ran 𝑓
17 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑧◑𝑓
18 csbeq1a 3902 . . . . . 6 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
192ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š)
20 iunexg 7946 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
211, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
23 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
24 f1ocnv 6838 . . . . . . . 8 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
2625adantrlr 720 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
27 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘—πœ‘
28 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗𝑓
29 nfiu1 5024 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
3028nfrn 5944 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗ran 𝑓
3128, 29, 30nff1o 6824 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓
32 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3329, 32nfralw 3302 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘—βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3431, 33nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
35 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗ran 𝑓
36 nfiu1 5024 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
3735, 36nfss 3969 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
3834, 37nfan 1894 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
3927, 38nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
40 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ran 𝑓
4139, 40nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
42 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
4342fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜π‘§))
44 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
45 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
4645simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4746simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
49 2fveq3 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
50 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ 𝑙 = π‘˜)
5149, 50eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙 ↔ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜))
5251rspcva 3604 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5344, 48, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5443, 53eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
5546simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
5655ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
57 f1ocnvfv1 7269 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5856, 44, 57syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5942fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (β—‘π‘“β€˜π‘§))
6054, 58, 593eqtr2rd 2773 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
61 f1ofn 6827 . . . . . . . . . 10 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
6255, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
63 simpllr 773 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
64 fvelrnb 6945 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧))
6564biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
6662, 63, 65syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
6760, 66r19.29a 3156 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
68 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
6968sselda 3977 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
70 eliun 4994 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡))
7169, 70sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡))
7241, 67, 71r19.29af 3259 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
73 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 β„²π‘—π‘˜
7473, 29nfel 2911 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
7527, 74nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
76 esumiun.2 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
7776adantllr 716 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
78 eliun 4994 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
7978biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
8079adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
8175, 77, 80r19.29af 3259 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8281adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8312, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 26, 72, 82esumf1o 33577 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
8483eqcomd 2732 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢)
85 vsnex 5422 . . . . . . . . . 10 {𝑗} ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ {𝑗} ∈ V)
8786, 2xpexd 7734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
8887ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
89 iunexg 7946 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
901, 88, 89syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
9190adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
92 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑧
9392, 36nfel 2911 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
9427, 93nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
95 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(2nd β€˜π‘§)
96 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝐢
9795, 96nfcsbw 3915 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
98 nfcv 2897 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(0[,]+∞)
9997, 98nfel 2911 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞)
100 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
101 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
102 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
10376ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
104101, 102, 103syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
105 rspcsbela 4430 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
106100, 104, 105syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
107 xp1st 8003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {𝑗})
108 elsni 4640 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜π‘§) ∈ {𝑗} β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑗)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑗)
110 xp2nd 8004 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
111109, 110jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
112111reximi 3078 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
11370, 112sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
114113adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
11594, 99, 106, 114r19.29af2 3258 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
116115adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
117 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
118117adantrlr 720 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
11912, 91, 116, 118esummono 33581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ≀ Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
12084, 119eqbrtrrd 5165 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
121 vex 3472 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ V
122 vex 3472 . . . . . . . . 9 π‘˜ ∈ V
123121, 122op2ndd 7982 . . . . . . . 8 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
124123eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ π‘˜ = (2nd β€˜π‘§))
125124, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
126125eqcomd 2732 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = 𝐢)
12776anasss 466 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
12814, 126, 1, 2, 127esum2d 33620 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
129128adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
130120, 129breqtrrd 5169 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
13111, 130exlimddv 1930 1 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βŸ¨cop 4629  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   Fn wfn 6531  β€“1-1β†’wf1 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  0cc0 11109  +∞cpnf 11246   ≀ cle 11250  [,]cicc 13330  Ξ£*cesum 33554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-r1 9758  df-rank 9759  df-card 9933  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-ordt 17453  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-plusf 18569  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-abv 20657  df-lmod 20705  df-scaf 20706  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-tmd 23926  df-tgp 23927  df-tsms 23981  df-trg 24014  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-nm 24441  df-ngp 24442  df-nrg 24444  df-nlm 24445  df-ii 24747  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-esum 33555
This theorem is referenced by:  omssubadd  33828
  Copyright terms: Public domain W3C validator