Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumiun 32733
Description: Sum over a nonnecessarily disjoint indexed union. The inequality is strict in the case where the sets B(x) overlap. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumiun.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esumiun.1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
esumiun.2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumiun (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,𝑗   𝑗,π‘Š,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑗)   𝐢(π‘˜)   𝑉(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem esumiun
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumiun.0 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 esumiun.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
31, 2aciunf1 31621 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4 f1f1orn 6800 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
54anim1i 616 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
6 f1f 6743 . . . . . . 7 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
76frnd 6681 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
87adantr 482 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
95, 8jca 513 . . . 4 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
109eximi 1838 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
113, 10syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
12 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
13 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑧𝐢
14 nfcsb1v 3885 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
15 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑧βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
16 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑧ran 𝑓
17 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑧◑𝑓
18 csbeq1a 3874 . . . . . 6 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
192ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š)
20 iunexg 7901 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
211, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
23 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
24 f1ocnv 6801 . . . . . . . 8 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
2625adantrlr 722 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
27 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘—πœ‘
28 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗𝑓
29 nfiu1 4993 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
3028nfrn 5912 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗ran 𝑓
3128, 29, 30nff1o 6787 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓
32 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3329, 32nfralw 3297 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘—βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3431, 33nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
35 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗ran 𝑓
36 nfiu1 4993 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
3735, 36nfss 3941 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
3834, 37nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
3927, 38nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
40 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ran 𝑓
4139, 40nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
42 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
4342fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜π‘§))
44 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
45 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
4645simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4746simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
49 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
50 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ 𝑙 = π‘˜)
5149, 50eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙 ↔ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜))
5251rspcva 3582 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5344, 48, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5443, 53eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
5546simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
57 f1ocnvfv1 7227 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5856, 44, 57syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5942fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (β—‘π‘“β€˜π‘§))
6054, 58, 593eqtr2rd 2784 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
61 f1ofn 6790 . . . . . . . . . 10 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
6255, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
63 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
64 fvelrnb 6908 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧))
6564biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
6662, 63, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
6760, 66r19.29a 3160 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
68 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
6968sselda 3949 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
70 eliun 4963 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡))
7169, 70sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡))
7241, 67, 71r19.29af 3254 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
73 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 β„²π‘—π‘˜
7473, 29nfel 2922 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
7527, 74nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
76 esumiun.2 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
7776adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
78 eliun 4963 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
7978biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
8079adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
8175, 77, 80r19.29af 3254 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8281adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8312, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 26, 72, 82esumf1o 32689 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
8483eqcomd 2743 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢)
85 vsnex 5391 . . . . . . . . . 10 {𝑗} ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ {𝑗} ∈ V)
8786, 2xpexd 7690 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
8887ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
89 iunexg 7901 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
901, 88, 89syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
9190adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
92 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑧
9392, 36nfel 2922 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
9427, 93nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
95 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(2nd β€˜π‘§)
96 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝐢
9795, 96nfcsbw 3887 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
98 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(0[,]+∞)
9997, 98nfel 2922 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞)
100 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
101 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
102 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
10376ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
104101, 102, 103syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
105 rspcsbela 4400 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
106100, 104, 105syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
107 xp1st 7958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {𝑗})
108 elsni 4608 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜π‘§) ∈ {𝑗} β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑗)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑗)
110 xp2nd 7959 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
111109, 110jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
112111reximi 3088 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
11370, 112sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
114113adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
11594, 99, 106, 114r19.29af2 3253 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
116115adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
117 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
118117adantrlr 722 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
11912, 91, 116, 118esummono 32693 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ≀ Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
12084, 119eqbrtrrd 5134 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
121 vex 3452 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ V
122 vex 3452 . . . . . . . . 9 π‘˜ ∈ V
123121, 122op2ndd 7937 . . . . . . . 8 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
124123eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ π‘˜ = (2nd β€˜π‘§))
125124, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
126125eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = 𝐢)
12776anasss 468 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
12814, 126, 1, 2, 127esum2d 32732 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
129128adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
130120, 129breqtrrd 5138 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
13111, 130exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  β¦‹csb 3860   βŠ† wss 3915  {csn 4591  βŸ¨cop 4597  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   Fn wfn 6496  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  0cc0 11058  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197  [,]cicc 13274  Ξ£*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-reg 9535  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-r1 9707  df-rank 9708  df-card 9882  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  omssubadd  32940
  Copyright terms: Public domain W3C validator