Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumiun 33746
Description: Sum over a nonnecessarily disjoint indexed union. The inequality is strict in the case where the sets B(x) overlap. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumiun.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esumiun.1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
esumiun.2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumiun (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,𝑗   𝑗,π‘Š,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑗)   𝐢(π‘˜)   𝑉(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem esumiun
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumiun.0 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 esumiun.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
31, 2aciunf1 32470 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4 f1f1orn 6855 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
54anim1i 613 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
6 f1f 6798 . . . . . . 7 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
76frnd 6735 . . . . . 6 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
87adantr 479 . . . . 5 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
95, 8jca 510 . . . 4 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
109eximi 1829 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1β†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
113, 10syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
12 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
13 nfcv 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑧𝐢
14 nfcsb1v 3919 . . . . . 6 β„²π‘˜β¦‹(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
15 nfcv 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑧βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
16 nfcv 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑧ran 𝑓
17 nfcv 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑧◑𝑓
18 csbeq1a 3908 . . . . . 6 (π‘˜ = (2nd β€˜π‘§) β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
192ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š)
20 iunexg 7973 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
211, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
23 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
24 f1ocnv 6856 . . . . . . . 8 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
2625adantrlr 721 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
27 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘—πœ‘
28 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗𝑓
29 nfiu1 5034 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
3028nfrn 5958 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗ran 𝑓
3128, 29, 30nff1o 6842 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓
32 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3329, 32nfralw 3306 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘—βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙
3431, 33nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
35 nfcv 2899 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗ran 𝑓
36 nfiu1 5034 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
3735, 36nfss 3974 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
3834, 37nfan 1894 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
3927, 38nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
40 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ran 𝑓
4139, 40nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
42 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
4342fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜π‘§))
44 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
45 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)))
4645simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙))
4746simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
4847ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙)
49 2fveq3 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
50 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ 𝑙 = π‘˜)
5149, 50eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙 ↔ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜))
5251rspcva 3609 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5344, 48, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5443, 53eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
5546simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
57 f1ocnvfv1 7291 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5856, 44, 57syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = π‘˜)
5942fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (β—‘π‘“β€˜π‘§))
6054, 58, 593eqtr2rd 2775 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
61 f1ofn 6845 . . . . . . . . . 10 (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
6255, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
63 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝑓)
64 fvelrnb 6964 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧))
6564biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((𝑓 Fn βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
6662, 63, 65syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(π‘“β€˜π‘˜) = 𝑧)
6760, 66r19.29a 3159 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
68 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
6968sselda 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
70 eliun 5004 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡))
7169, 70sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡))
7241, 67, 71r19.29af 3263 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
73 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 β„²π‘—π‘˜
7473, 29nfel 2914 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡
7527, 74nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡)
76 esumiun.2 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
7776adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
78 eliun 5004 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
7978biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
8079adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 π‘˜ ∈ 𝐡)
8175, 77, 80r19.29af 3263 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8281adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8312, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 26, 72, 82esumf1o 33702 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
8483eqcomd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢)
85 vsnex 5435 . . . . . . . . . 10 {𝑗} ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ {𝑗} ∈ V)
8786, 2xpexd 7759 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
8887ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
89 iunexg 7973 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
901, 88, 89syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
9190adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) ∈ V)
92 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑧
9392, 36nfel 2914 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)
9427, 93nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
95 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(2nd β€˜π‘§)
96 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝐢
9795, 96nfcsbw 3921 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ
98 nfcv 2899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(0[,]+∞)
9997, 98nfel 2914 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞)
100 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
101 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
102 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
10376ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
104101, 102, 103syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
105 rspcsbela 4439 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
106100, 104, 105syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
107 xp1st 8031 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {𝑗})
108 elsni 4649 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜π‘§) ∈ {𝑗} β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑗)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑗)
110 xp2nd 8032 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
111109, 110jca 510 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
112111reximi 3081 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
11370, 112sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
114113adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((1st β€˜π‘§) = 𝑗 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝐡))
11594, 99, 106, 114r19.29af2 3262 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
116115adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)) β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (0[,]+∞))
117 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
118117adantrlr 721 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))
11912, 91, 116, 118esummono 33706 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ ≀ Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
12084, 119eqbrtrrd 5176 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
121 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ V
122 vex 3477 . . . . . . . . 9 π‘˜ ∈ V
123121, 122op2ndd 8010 . . . . . . . 8 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = π‘˜)
124123eqcomd 2734 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ π‘˜ = (2nd β€˜π‘§))
125124, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ 𝐢 = ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
126125eqcomd 2734 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ = 𝐢)
12776anasss 465 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
12814, 126, 1, 2, 127esum2d 33745 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
129128adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢 = Ξ£*𝑧 ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡)⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘˜β¦ŒπΆ)
130120, 129breqtrrd 5180 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ βˆ€π‘™ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘™)) = 𝑙) ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} Γ— 𝐡))) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
13111, 130exlimddv 1930 1 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐴 𝐡𝐢 ≀ Ξ£*𝑗 ∈ 𝐴Σ*π‘˜ ∈ 𝐡𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473  β¦‹csb 3894   βŠ† wss 3949  {csn 4632  βŸ¨cop 4638  βˆͺ ciun 5000   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   Fn wfn 6548  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  0cc0 11146  +∞cpnf 11283   ≀ cle 11287  [,]cicc 13367  Ξ£*cesum 33679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9623  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-r1 9795  df-rank 9796  df-card 9970  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-plusf 18606  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-abv 20704  df-lmod 20752  df-scaf 20753  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tmd 23996  df-tgp 23997  df-tsms 24051  df-trg 24084  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-nm 24511  df-ngp 24512  df-nrg 24514  df-nlm 24515  df-ii 24817  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-esum 33680
This theorem is referenced by:  omssubadd  33953
  Copyright terms: Public domain W3C validator