Theorem onprcr 36631

Description: Relative version of onprc 7816. (Contributed by Adrian Ducourtial, 15-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
onprcr.1	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥}
onprcr.2	⊢ Tr 𝐴

Assertion

Ref	Expression
onprcr	⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem onprcr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprcr.2	. . . 4 ⊢ Tr 𝐴
2		rabssab 4013	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ Ord 𝑥}
3		onprcr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥}
4		df-on 6384	. . . . . 6 ⊢ On = {𝑥 ∣ Ord 𝑥}
5	2, 3, 4	3sstr4i 3964	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ On
6		epweon 7813	. . . . 5 ⊢ E We On
7		wess 5641	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
8	5, 6, 7	mp2 9	. . . 4 ⊢ E We 𝐴
9		df-ord 6383	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
10	1, 8, 9	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ Ord 𝐴
11		ordirr 6398	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
13		ordeq 6387	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐴))
14	13	elrab3 3649	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥} ↔ Ord 𝐴))
15	10, 14	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥})
16	15, 3	eleqtrrdi 2875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝐴)
17	12, 16	mto 200	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  {crab 3416   ⊆ wss 3900  Tr wtr 5215   E cep 5554   We wwe 5607  Ord word 6379  Oncon0 6380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6383  df-on 6384

This theorem is used by:  onprcALT  36632