Theorem onprcr 36531

Description: Relative version of onprc 7792. (Contributed by Adrian Ducourtial, 15-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
onprcr.1	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥}
onprcr.2	⊢ Tr 𝐴

Assertion

Ref	Expression
onprcr	⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem onprcr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprcr.2	. . . 4 ⊢ Tr 𝐴
2		rabssab 4010	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ Ord 𝑥}
3		onprcr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥}
4		df-on 6366	. . . . . 6 ⊢ On = {𝑥 ∣ Ord 𝑥}
5	2, 3, 4	3sstr4i 3959	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ On
6		epweon 7789	. . . . 5 ⊢ E We On
7		wess 5636	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
8	5, 6, 7	mp2 9	. . . 4 ⊢ E We 𝐴
9		df-ord 6365	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
10	1, 8, 9	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ Ord 𝐴
11		ordirr 6380	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
13		ordeq 6369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐴))
14	13	elrab3 3645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥} ↔ Ord 𝐴))
15	10, 14	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ Ord 𝑥})
16	15, 3	eleqtrrdi 2871	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝐴)
17	12, 16	mto 200	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  {crab 3412   ⊆ wss 3895  Tr wtr 5211   E cep 5549   We wwe 5602  Ord word 6361  Oncon0 6362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is used by:  onprcALT  36532