Theorem elrab3 3643

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
elrab3	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 3642	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	2	baib 535	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438

This theorem is referenced by:  unimax  4893  fnelfp  7109  fnelnfp  7111  fnse  8063  fin23lem30  10233  isf32lem5  10248  negn0  11546  ublbneg  12831  supminf  12833  sadval  16367  smuval  16392  dvdslcm  16509  dvdslcmf  16542  isprm2lem  16592  isacs1i  17563  isinito  17903  istermo  17904  subgacs  19073  nsgacs  19074  odngen  19489  sdrgacs  20716  lssacs  20900  mretopd  23007  txkgen  23567  xkoco1cn  23572  xkoco2cn  23573  xkoinjcn  23602  ordthmeolem  23716  shft2rab  25436  sca2rab  25440  lhop1lem  25945  ftalem5  27014  vmasum  27154  eqscut2  27747  elmade  27812  israg  28675  ebtwntg  28960  eupth2lem3lem3  30210  eupth2lem3lem4  30211  eupth2lem3lem6  30213  cycpmco2lem1  33095  cycpmco2lem4  33098  cycpmco2  33102  ssdifidllem  33421  1arithufdlem2  33510  tgoldbachgt  34676  cvmliftmolem1  35325  neibastop3  36404  fdc  37793  pclvalN  39937  dvhb1dimN  41033  hdmaplkr  41960  aks4d1p8  42128  sticksstones1  42187  fsuppssind  42634  diophren  42854  islmodfg  43110  fsovcnvlem  44054  ntrneiel  44122  radcnvrat  44355  supminfxr  45510  stoweidlem34  46080