Theorem elrab3 3558

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
elrab3	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 3556	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	2	baib 532	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-ext 2777

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-rab 3098  df-v 3387

This theorem is referenced by:  unimax  4665  fnelfp  6670  fnelnfp  6672  fnse  7531  fin23lem30  9452  isf32lem5  9467  negn0  10751  ublbneg  12018  supminf  12020  sadval  15513  smuval  15538  dvdslcm  15646  dvdslcmf  15679  isprm2lem  15728  isacs1i  16632  isinito  16964  istermo  16965  subgacs  17942  nsgacs  17943  odngen  18305  lssacs  19288  mretopd  21225  txkgen  21784  xkoco1cn  21789  xkoco2cn  21790  xkoinjcn  21819  ordthmeolem  21933  shft2rab  23616  sca2rab  23620  lhop1lem  24117  ftalem5  25155  vmasum  25293  israg  25948  ebtwntg  26219  eupth2lem3lem3  27575  eupth2lem3lem4  27576  eupth2lem3lem6  27578  tgoldbachgt  31261  cvmliftmolem1  31780  neibastop3  32869  fdc  34028  pclvalN  35911  dvhb1dimN  37007  hdmaplkr  37934  diophren  38163  islmodfg  38424  sdrgacs  38556  fsovcnvlem  39089  ntrneiel  39161  radcnvrat  39295  supminfxr  40437  stoweidlem34  40994