Theorem opabbrfexd 47570

Description: A collection of ordered pairs, the second component being a function, is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabresexd.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐶)
opabresexd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝑦:𝐴⟶𝐵)
opabresexd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑈)
opabresexd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑉)
opabresexd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
opabbrfexd	⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥𝑅𝑦} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opabbrfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.24 563	. . 3 ⊢ (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥𝑅𝑦))
2	1	opabbii 5166	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥𝑅𝑦} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥𝑅𝑦)}
3		opabresexd.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐶)
4		opabresexd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝑦:𝐴⟶𝐵)
5		opabresexd.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑈)
6		opabresexd.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		opabresexd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	opabresexd 47569	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥𝑅𝑦)} ∈ V)
9	2, 8	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥𝑅𝑦} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   class class class wbr 5099  {copab 5161  ⟶wf 6489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497

This theorem is referenced by: (None)