Theorem pnfnre 11175

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pnf 11170	. . . 4 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
2		pwuninel 8214	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
3	1, 2	eqneltri 2854	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
4		recn 11117	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
5	3, 4	mto 197	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
6	5	nelir 3037	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3034  𝒫 cpw 4531  ∪ cuni 4840  ℂcc 11025  ℝcr 11026  +∞cpnf 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nel 3035  df-rab 3388  df-v 3429  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-uni 4841  df-pnf 11170

This theorem is referenced by:  pnfnre2  11176  renepnf  11182  ltxrlt  11205  nn0nepnf  12507  xrltnr  13059  pnfnlt  13068  xnn0lenn0nn0  13186  hashclb  14309  hasheq0  14314  pcgcd1  16837  pc2dvds  16839  ramtcl2  16971  odhash3  19540  xrsdsreclblem  21382  pnfnei  23173  iccpnfcnv  24899  i1f0rn  25637