MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnre 10674
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 df-pnf 10669 . . . 4 +∞ = 𝒫
2 pwuninel 7933 . . . 4 ¬ 𝒫 ℂ ∈ ℂ
31, 2eqneltri 2904 . . 3 ¬ +∞ ∈ ℂ
4 recn 10619 . . 3 (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
53, 4mto 199 . 2 ¬ +∞ ∈ ℝ
65nelir 3124 1 +∞ ∉ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wnel 3121  𝒫 cpw 4537   cuni 4830  cc 10527  cr 10528  +∞cpnf 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-nel 3122  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-uni 4831  df-pnf 10669
This theorem is referenced by:  pnfnre2  10675  renepnf  10681  ltxrlt  10703  nn0nepnf  11967  xrltnr  12506  pnfnlt  12515  xnn0lenn0nn0  12630  hashclb  13711  hasheq0  13716  pcgcd1  16205  pc2dvds  16207  ramtcl2  16339  odhash3  18693  xrsdsreclblem  20583  pnfnei  21820  iccpnfcnv  23540  i1f0rn  24275
  Copyright terms: Public domain W3C validator