Theorem pnfnre 11205

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pnf 11200	. . . 4 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
2		pwuninel 8211	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
3	1, 2	eqneltri 2851	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
4		recn 11150	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
5	3, 4	mto 196	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
6	5	nelir 3048	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3045  𝒫 cpw 4565  ∪ cuni 4870  ℂcc 11058  ℝcr 11059  +∞cpnf 11195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-tru 1544  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nel 3046  df-rab 3406  df-v 3448  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4871  df-pnf 11200

This theorem is referenced by:  pnfnre2  11206  renepnf  11212  ltxrlt  11234  nn0nepnf  12502  xrltnr  13049  pnfnlt  13058  xnn0lenn0nn0  13174  hashclb  14268  hasheq0  14273  pcgcd1  16760  pc2dvds  16762  ramtcl2  16894  odhash3  19372  xrsdsreclblem  20880  pnfnei  22608  iccpnfcnv  24344  i1f0rn  25083