Theorem i1f0rn 25531

Description: Any simple function takes the value zero on a set of unbounded measure, so in particular this set is not empty. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1f0rn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem i1f0rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11262	. . 3 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3047	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		rembl 25389	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ dom vol
4		mblvol 25379	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ dom vol → (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ)
6		ovolre 25374	. . . . 5 ⊢ (vol*‘ℝ) = +∞
7	5, 6	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (vol‘ℝ) = +∞
8		cnvimarndm 6081	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
9		i1ff 25525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10	9	fdmd 6728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → dom 𝐹 = ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → dom 𝐹 = ℝ)
12	8, 11	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (◡𝐹 “ ran 𝐹) = ℝ)
13	12	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (vol‘ℝ))
14		i1fima2 25528	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(◡𝐹 “ ran 𝐹)) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘ℝ) ∈ ℝ)
16	7, 15	eqeltrrid 2837	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ℝ)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (¬ 0 ∈ ran 𝐹 → +∞ ∈ ℝ))
18	2, 17	mt3i 149	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  ‘cfv 6543  ℝcr 11115  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  vol*covol 25311  volcvol 25312  ∫₁citg1 25464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-cmp 23211  df-ovol 25313  df-vol 25314  df-mbf 25468  df-itg1 25469

This theorem is referenced by:  i1fres  25555  itg1climres  25564  itg2addnclem2  37004  ftc1anclem7  37031  ftc1anc  37033