MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f0rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f0rn 25049
Description: Any simple function takes the value zero on a set of unbounded measure, so in particular this set is not empty. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1f0rn (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0 ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem i1f0rn
StepHypRef Expression
1 pnfnre 11197 . . 3 +∞ βˆ‰ ℝ
21neli 3052 . 2 Β¬ +∞ ∈ ℝ
3 rembl 24907 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
4 mblvol 24897 . . . . . 6 (ℝ ∈ dom vol β†’ (volβ€˜β„) = (vol*β€˜β„))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (volβ€˜β„) = (vol*β€˜β„)
6 ovolre 24892 . . . . 5 (vol*β€˜β„) = +∞
75, 6eqtri 2765 . . . 4 (volβ€˜β„) = +∞
8 cnvimarndm 6035 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
9 i1ff 25043 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
109fdmd 6680 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ dom 𝐹 = ℝ)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ ran 𝐹) β†’ dom 𝐹 = ℝ)
128, 11eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ ran 𝐹) β†’ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = ℝ)
1312fveq2d 6847 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ ran 𝐹) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (volβ€˜β„))
14 i1fima2 25046 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ ran 𝐹) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) ∈ ℝ)
1513, 14eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ ran 𝐹) β†’ (volβ€˜β„) ∈ ℝ)
167, 15eqeltrrid 2843 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ ran 𝐹) β†’ +∞ ∈ ℝ)
1716ex 414 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (Β¬ 0 ∈ ran 𝐹 β†’ +∞ ∈ ℝ))
182, 17mt3i 149 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  β€˜cfv 6497  β„cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187  vol*covol 24829  volcvol 24830  βˆ«1citg1 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987
This theorem is referenced by:  i1fres  25073  itg1climres  25082  itg2addnclem2  36133  ftc1anclem7  36160  ftc1anc  36162
  Copyright terms: Public domain W3C validator