MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f0rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f0rn 25736
Description: Any simple function takes the value zero on a set of unbounded measure, so in particular this set is not empty. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1f0rn (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem i1f0rn
StepHypRef Expression
1 pnfnre 11331 . . 3 +∞ ∉ ℝ
21neli 3054 . 2 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 rembl 25594 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
4 mblvol 25584 . . . . . 6 (ℝ ∈ dom vol → (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ)
6 ovolre 25579 . . . . 5 (vol*‘ℝ) = +∞
75, 6eqtri 2768 . . . 4 (vol‘ℝ) = +∞
8 cnvimarndm 6112 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
9 i1ff 25730 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
109fdmd 6757 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → dom 𝐹 = ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → dom 𝐹 = ℝ)
128, 11eqtrid 2792 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (𝐹 “ ran 𝐹) = ℝ)
1312fveq2d 6924 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ran 𝐹)) = (vol‘ℝ))
14 i1fima2 25733 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ran 𝐹)) ∈ ℝ)
1513, 14eqeltrrd 2845 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘ℝ) ∈ ℝ)
167, 15eqeltrrid 2849 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ℝ)
1716ex 412 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (¬ 0 ∈ ran 𝐹 → +∞ ∈ ℝ))
182, 17mt3i 149 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701  cima 5703  cfv 6573  cr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  vol*covol 25516  volcvol 25517  1citg1 25669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674
This theorem is referenced by:  i1fres  25760  itg1climres  25769  itg2addnclem2  37632  ftc1anclem7  37659  ftc1anc  37661
  Copyright terms: Public domain W3C validator