Theorem i1f0rn 26015

Description: Any simple function takes the value zero on a set of unbounded measure, so in particular this set is not empty. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1f0rn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem i1f0rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11360	. . 3 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3066	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		rembl 25873	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ dom vol
4		mblvol 25863	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ dom vol → (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ)
6		ovolre 25858	. . . . 5 ⊢ (vol*‘ℝ) = +∞
7	5, 6	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (vol‘ℝ) = +∞
8		cnvimarndm 6085	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
9		i1ff 26009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10	9	fdmd 6728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → dom 𝐹 = ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → dom 𝐹 = ℝ)
12	8, 11	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (◡𝐹 “ ran 𝐹) = ℝ)
13	12	fveq2d 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (vol‘ℝ))
14		i1fima2 26012	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(◡𝐹 “ ran 𝐹)) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘ℝ) ∈ ℝ)
16	7, 15	eqeltrrid 2868	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ℝ)
17	16	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (¬ 0 ∈ ran 𝐹 → +∞ ∈ ℝ))
18	2, 17	mt3i 150	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657  ‘cfv 6546  ℝcr 11209  0cc0 11210  +∞cpnf 11350  vol*covol 25795  volcvol 25796  ∫₁citg1 25948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866  df-rest 17605  df-topgen 17626  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-cmp 23717  df-ovol 25797  df-vol 25798  df-mbf 25952  df-itg1 25953

This theorem is used by:  i1fres  26038  itg1climres  26047  itg2addnclem2  38730  ftc1anclem7  38757  ftc1anc  38759